2016数学模型期末考试试题论文题目.doc

目 录 数学模型试题 ............................................................................................6 论文格式规范 ............................................................................................7 附件一：数学建模论文模板....................................................................8 论文标题 ..............................................................................................9 1题 污水处理问题 ...............................................................................24 2题 基于数码相机的物体测量...........................................................24 3 题 抑制房地产泡沫问题.....................................................................25 4 题 工件的安装与排序问题.................................................................25 5题 商品房还贷方案设计...................................................................28 6题 失业工人如何选择满意工作...................................................33 7题 汽车保险 .......................................................................................33 8题 大型运动会团体参赛成绩评价.................................................36 9题 降落伞的选择 .............................................................................37 10 题 最佳旅游路线设计...................................................................38 11 题 篮球比赛问题 ...........................................................................39 12 题 减速路障的放置 .......................................................................40 13 题 热源反演问题 ...........................................................................40 1 14 题 快递公司送货策略...................................................................41 15 请你来排课表 ................................................................................44 16 万亿投资与劳动力就业........................................................52 17 水库排污问题 .....................................................................................53 18 影院座位设计问题 .............................................................................55 19 燃气输送问题 .....................................................................................56 20 流感疫苗接种问题 ............................................................................57 21 全球卫星通讯系统中的数学问题..............................................58 22 乒乓球赛问题 ................................................................................59 23 海底地形图问题 ..........................................................................60 24 野兔生长问题 ....................................................................................60 25 题铁路大提速下的弯道设计.............................................................61 26 题 防洪物资调运问题.....................................................................62 27 关于火车站股道和列检的问题.........................................................66 28 自来水的定价 .....................................................................................86 29 题 人民币汇率对经济的影响...........................................................86 30 题 三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计问题.......................87 31 题: 高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 .............................88 2 32 题 .........................................................................................................89 33 题 ........................................................................................................97 34 题：足球生产计划问题...................................................................100 35 独立学院的评价问题..............................................................101 36 超市利润问题 ..............................................................................101 37 题 组合投资的收益和风险问题...................................................102 38 题 紧急撤离问题 .......................................................................117 39 题 失业工人如何选择满意工作.................................................118 40 题 汽车保险 .....................................................................................119 41 题 抑制房地产泡沫问题.................................................................121 42 题 工件的安装与排序问题.............................................................122 43 题 自来水的定价 .............................................................................125 44 题 篮球比赛问题 .............................................................................125 45 题 毕业生就业问题 .........................................................................126 46 题关于火车站股道和列检的问题...................................................127 47 题 防洪物资调运问题.....................................................................132 48 题私家车保有量增长及调控问题...................................................133 49 题 大型煤炭企业生产和供给问题..................................................137 3 50 题 关于保姆的招聘计划...............................................................141 51 列车售餐问题 ..............................................................................142 52 居民区供水问题 ............................................................................143 53 人民币的汇率问题 ........................................................................144 54 优秀论文评选 ................................................................................144 55 题 送货问题 ...........................................................................146 56 宠物狗销售 ..................................................................................148 57 导弹攻击 ......................................................................................149 58 题 错峰上下课时间安排问题.......................................150 59 题 物流优化设计问题...................................................151 60 题 草原鼠患问题 .........................................................................152 61 题 牧羊人的希望 ........................................................................154 62 题 高层办公楼电梯问题...........................................................156 63 题 糖果配比销售 .....................................................................159 64 题 产销问题 ...........................................................................161 65 题 航空公司的机舱设计及机票销售.......................................163 66 题 胃癌的鉴别 .........................................................................164 67 题 水库的杂鱼彻底清理的最佳方案.....................................165 4 68 题 资源配置问题 ...................................................................166 69 题 建筑下料问题 .................................................................167 70 题 水厂供水方案 .....................................................................169 71 题 航空公司预定票策略.........................................................171 72 题 酒后驾车 .............................................................................172 73 题 洁具流水时间设计.............................................................174 74 题 护士工作时间调度...............................................................176 75 题 活动室优化管理 .................................................................177 76 题 农场规划问题 .....................................................................183 77 题 评卷分配问题 ...................................................................185 78 题 人工湖对环境温度的调节问题...........................................191 79 题 校车安排问题 .....................................................................193 80 题 无错配的按优录用分配方案...............................................202 5 数学模型试题 要求：（1 人 1 题，抽签后原则上不还题，特殊情况可以申请一次调 整题目的机会）  论文必须是尚未在任何刊物（包括网络）上正式发表，否则一经 发现，按舞弊处理，成绩作废；  答题必须参照论文格式规范，若违反规定，可能会影响最后的评 定成绩，造成的后果自负。  要求独立完成。可以去校外、图书馆或互联网查阅相关资料，也 可以就相关知识向教师请教，但不能由老师来解答，一旦发现将 取消成绩。  6 月 13 日下午 17 点前：交打印稿(A4)和电子稿各一份。打印稿 交理科楼 5 楼数学系；电子稿发到邮箱（lbw8880148@126.com）。 6 论文格式规范  请将答题论文用 word 文档文件储存,文件名取为：例如“数学教 育 2012 级 1 班 20 号周恩来.doc”、“数学教育 2012 级 2 班 17 号邓小平.doc”、“数学应用 2013 级 1 班 39 号刘少奇.doc”。  论文（答卷）用白色 A4 纸单面打印，上下左右各留出至少 2.5 厘米的页边距。  论文题目和摘要写在论文第 1 页上，从第 2 页开始是论文正文。  论文从第 1 页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿 拉伯数字从“1”开始连续编号。  论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。  论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文 中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应 尽量避免彩色打印。  提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键 词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅 不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论 文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。  引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须 按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明 确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等； 7 引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出， 其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 附件一：数学建模论文模板 （注：论文标题、摘要、关键词为单独的第 1 页；第 2 页开始为正文， 原则上应该包括问题提出、问题分析、…、模型的评价与改进及参考 文献；若需写短文的则另起一页附在最后） 8 论文标题 姓名 （专业班级学号） 摘要： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX（字数至少 3 百，但不得超 过 8 百） 关键词：XXXX；XXXX；XX；XXX 9 1 问题的提出 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 2 问题的分析 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 3 基本假设 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 4 符号说明 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 5 模型的建立 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 6 模型的求解 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 10 7 结果分析 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 8 模型的评价与改进 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 参考文献 [1]XXX，XXXXXXXXXXXXXXXXXXX，XXXXXXX，XXXXX； [2]XXX，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX，XXXXXXXXXXXX，XXXXX。 11 不能标页眉 A4，单面，上下 左右各留出至 少 2.5 厘米的页 边距；从左侧装 订 “数模全国竞赛论文”写作模板（题目） 一级标题四号黑体 字，可居中，可等格； 摘 要 摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，在整篇论文评阅中占有重 要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页，但要充分利用本 其 它 汉 字 页），勿庸置疑，摘要在整个数模论文中占有及其重要的地位，它是 评委对你所写论文的第一印象，因此在这一部分的写作上一定要花大 功夫，千万不能马虎。摘要是论文是否取得好名次的决定性因素，评 委们通过你的摘要就决定是否继续阅读你的论文。换句话说，就算你 的论文其他方面写得再好，摘要不行，你的论文也不会得到重视。我 认为在写摘要时应包括 6 个方面：对问题稍做描述（问题的研究有什 么意义），用了什么方法，建立了什么样的模型（线性规化模形）， 针对所建立的模型用什么算法、软件解的，得到什么结论，模型、结 论有什么特色。 简而言之，摘要应该体现你用什么方法，解决了什 么问题，得出了什么结论。另外，好的摘要都包含了两个共同的特点： 简要 simple 和明确 clear。 学术论文要求：括地陈述论文研究的目的、方法、结果、结论， 要求 200～300 字．应排除本学科领域已成为常识的内容；不要把应 在引言中出现的内容写入摘要，不引用参考文献；不要对论文内容作 诠释和评论．不得简单重复题名中已有的信息．用第三人称，不使用 “本文”、“作者”等作为主语．使用规范化的名词术语，新术语或尚 无合适的汉文术语的，可用原文或译出后加括号注明．除了无法变通 12 小四号宋 字，行距用 单倍行距 （由于数 学论文中 通常有汉 字和公式， 建议行距 用固定行 距 22 磅。 ） 之外，一般不用数学公式和化学结构式，不出现插图、表格．缩略语、 略称、代号，除了相邻专业的读者也能清楚理解的以外，在首次出现 时必须加括号说明．结构严谨，表达简明，语义确切。 摘要是论文的门面，摘要写的不好评委后面就不会去看了，自然 只能给个成功参赛奖。摘要首先不要写废话，也不要照抄题目的一些 话，直奔主题，要写明自己怎样分析问题，用什么方法解决问题，最 重要的是结论是什么要说清楚，在中国的竞赛中结论如果正确一般得 奖是必然的，如果不正确的话评委可能会继续往下看，也可能会扔在 一边，但不写结论的话就一定不会得奖了，所以要认真写。摘要至少 需要琢磨两个小时，不要轻视了它的重要性。很有必要多看看优秀论 文的摘要是如何写的，并要作为赛前准备的内容之一。 关键词：关键词 1；关键词 2；关键词 3；关键词 4 （3 到 8 个求解问 题、使用的方法中的重要术语） 关键词间用分号隔 开 13 目 录 内容较多时最好有 14 一级标题四号黑体 居中 0 问题提出（问题重述） 内容小四号宋体 这一部分没有过多的说明，一般的同学是直接 copy 赛题的原文 就行了，但我认为在时间充裕情况下可以适当归纳总结；在撰写论文 时，应该把读者（即评阅人）想象为对你所研究的问题一无所知或知 之甚少的一个群体，因此，首先要简单地说明问题的情景，即要说清 事情的来龙去脉。 1 问题分析（问题重述与分析） 一般竞赛题目自己肯定没有见过，而且赛题都不是书上哪个模型 可以直接套成功的，很多根本就没有固定的模型可以参考，所以分析 问题不是一个去找书本的过程，依赖书本就意味着自己的思想被束缚 起来。可以完全按照自己的分析去完成，平时练习的时候学习的是一 引用别人成果 时，请一定要 种方法，通过以前学到的方法来解决，不是套用书本来解决，没有模 标明。 型套怎么办，只有靠自己去实际分析。但是这一点上就需要真本事了， 平时多努力，比赛发挥正常，这一点做好是没有问题的。当然，如果 看到题目后脑子一片空白的，那就找资料、找书本参考吧[1]。 15 本部分内容：要求建模者深刻了解实际问题的背景, 明确建模的 目的； 进行全面深入细致的分析, 尽量掌握建模对象的各种信息； 找出实际问题的内在规律，针对每小问题理顺将要解决的方法、步骤。 从题目到模型是一种从具体到抽象的思维过程，本部分即是这一过程 的体现。这部分是文章的一个亮点，建议在文字说明的同时用图形或 图表列出思维过程，这会使你的思维显得很清晰，让人觉得一目了然。 另外，这部分应对题目做整体分析，充分利用题目中的信息和条件， 确定用什么方法建立模型。我们可以从题目中得到问题的一些初步的 判定：(比如说可以得到在极限情况下的最大产量，花费的最少时间 等，在我们最后得到的方案不能超过(或低于)我们这里分析的量。)， 在这部分应体现我们解决原问题的雏形。总之， 问题分析在整个论 文中的作用在于承上启下，也很能反应出参赛者的综合水平。 注：大家在这里边还要注意用“将来时”语辞，别搞成写论文总 每段开头空两个汉字 结（过去时）。 2 模型假设（模型假设与符号说明） 模型假设是建立数学模型中非常关键的一步，关系到模型的成败 和优劣。所以，应该细致地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最 能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论 从本页起标居中页 码，这里应为 1。 文的“模型的假设”部分中体现。由于假设一般不是实际问题直接提 供的，它们因人而异，所以在撰写这部分内容时要注意以下几方面： 16 1） 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不 致产生任何曲解。 2） 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立模型无 关的假设只会扰乱读者的思考。 3） 假设应验证其合理性。假设的合理性可以从分析问题过程中 得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设，或者由观察所给 数据的图象，得到变量的函数形式（09 年题中病人住院时间负指数 分布？），也可以参考其他资料由类推得到（但一定要注意正确性， 应指出参考文献的相关内容） 。 假设从那里来？我认为假设的条件一般可以从题目中挖掘： 1）对我们所解决问题本身没有影响(或影响比较小)但可以使模 型得到简化的因素应该在假设中体现。 2）不能为了简化问题而大量假设(使求解问题本身与原题意不 符)，因此应注意假设的’量’与’度’。 3）随时记下自己的假设。有时候在很合理的假设下开始了下一 步的工作，就应该顺手把这个假设给记下 来，否则到了最后可能会 忘掉，而且这也会让我们的解答更加严谨。（每次参加竞赛时，总有 同学到最后来补充假设，甚至抄别人的） 注：在整个数学建模过程中，都应该随时记录自己的想法， 17 有时也和模型假设在一 起 而且不留余地的完全的表达自己的思想。 3 符号说明 在数学建模的论文中不可避免的会出现大量的数学符号，因此在 这部分里应把这些符号做一个简要的说明，可以从符号，类型(变量， 常量)，单位，含义几个方面来说明(如下表)： 符号名称 类型 单位 含义 X 需要注意的是单位量纲要统一，含义解释要准确，清楚。 注：如果论文符号特别多时，也可考虑分步进行符号说明。其一： 在本节中对整个论文中都要用到的符号（全局符号）用上表说明；其 二：如果某些符号仅出现在某一小节中（小范围符号），可在符号所 出现的地方说明。 如果这里只有一两行， 少数几行，又要另起一 级标题，建议这几行空 在这吧。 4 模型建立 18 在作出假设后，我们就可以在论文中引进变量及其记号，抽象而 确切地表达它们的关系，通过一定的数学方法，最后顺利地建立方程 模型前应有推导的过程 式或归纳为其他形式的数学问题，此处，一定要用数学思想去分析、 论证的方法，即说理的方法，让读者清楚地了解得到模型的过程，上 下文之间切忌逻辑推理过程中跳跃度过大，影响论文的说服力，需要 推理和论证的地方，应该有推导的过程而且应该力求严谨；引用现成 定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必 须在第一次出现时加以说明。总之，要把得到数学模型的过程表达清 楚，使读者获得判断模型科学性的一个依据。可能要用到的数学理论 有：1、线性规划 2、最优化理论 3、非线性规划 7、管理运筹学 3、离散数学 4、差分方程 5、概率统计 6、层次分析 7、常微分方程 。（并且要了解常用的数学建模方法解是 强化培训内容之一，如果在这里边数学知识、方法什么都不知道就做 什么都是白做了） 模型形式例如： n k m i 0 j 1 j k1 MinS=K×  (  Xij Dij+  yij Dij) ………………………………… 4-1 S·t n K·  Xij≥Nj(j=1,2……k ) …………………………………………… i 0 4-2 19 K · n Yij  i ≥ Nj(j=k+1, … … … … 0 m)………………………………………………4-3 n Q ′ ≤ k ( Yij Wi ) i 0 n Yij  i ≤ Q(j= k+1, 0 m)……………………………………4-4 S K k j Xij ≤  i 1 (i=0,1 … n) ………………………………………………4-5 m j Yij ≤ 1  Mi  K (i=0,1, … n) ………………………………………………4-6 式 4-1 是我们所建立的目标函数，也即总运量，其值应是从各个 模型后应有每个表达式的说明 铲位运输到各个卸点的石料（包括岩石和矿石）总量。式 4-2、4-3 说明………。 5 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各 种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解 决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟 20 出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。模型求解的方式 很多，但一般多用软件编程求解，在这里我建议大家多用数学软件求 解，三大软件(Matlab，Maple，Mathematic)至少应熟悉一种，另外 应学会一些专用软件。比如说解概率统计问题的 SAS，Splus，SPSS； 解运筹优化问题的 Lingo，Lindo 等。其次尽量用不同方法求解，这 既能反应出你的思维比较开阔，也能间接地验证你所求解结果的正确 性。另外应给出主要算法的一些简要步骤，处理或简化问题的方式， 并适当应用表格或图像说明。最后需要提醒大家的是在必要时可以给 出数学上的证明，这会使你的论文增色不少。 （掌握一两种数学软件是非常有必要的，数学软件的学习也是强 化培训内容之一） 是句号别用小 黑点 6 模型结果分析与检验 根据模型的特点和模型求解的结果, 分析各种变量之间的依赖 关系、稳定性质, 作出预测、最优决策与控制, 然后将分析的结果与 客观的实际情况比较, 检验模型的合理性和适用范围。 如果不合理, 则修改原来的假设重新建模, 直到模型求解结果符合实际情况和建 模的要求为止. 在我们的模型假设中，忽略了一些对问题影响的次要因素，这或 多或少的使问题得到了简化，但必然会产生一些误差；另外解决问题 的方法是很多的，在论文中可能只用了其中的一两种方法，思维可能 21 显得比较局限；而模型本身也会有它的优势和缺陷。因此，我们在这 部分应该做的工作主要有下面三点： 1）． 是否能用其他方式或方法解决。 2）． 模型的优缺点分析。 3）． 模型的误差分析或灵敏度分析。 做好上面的工作，既是对原问题的补充说明，更表现一种思维的 严谨和逻辑的严密，使你的论文一气呵成，显得很完备。 7 模型的评价与推广 由于文章本身的局限性，在这里可以对一些问题做更深入的探讨， 这是文章又一亮点，实力比较强的队伍可以在这一块充分发挥。这部 分对于整个论文的作用在于画龙点睛。另外，我们对问题的探讨与延 拓方式是多种多样的：可以把假设的条件适当放宽了来考虑问题；可 以对你的算法做出改进等等，我认为在这里做做定性的分析就够了， 最后主要对问题的横向和纵向两方面进行发散。 8 参考文献 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上 查到的资)， 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处和参考文献中明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献 22 的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按 正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： 论文中 所有地 方 应 “两端 对齐” [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： 论文中所有地方应 “两端对齐” [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 9 附录 至于附录，附上相关程序及运行结果，数学上的证明即可，其他 的一些注意事项在这里就不冗述了，最后注意一下论文的整体感，特 别是文字表述是否准确严密。 23 1题 污水处理问题 一家污水处理厂通过去掉污水中的污染物来处理污水，生产有用 的肥料和清洁的水。 问题 1：该处理过程每小时处理掉池中剩余污物的 10%，一天后处 理池中将留下百分之几的污物。要多长时间才能把污物的量减少一半。 问题 2：若该池中每小时流入 100 公斤含污物 60%的污水，同时为 保持池中容量的平衡，每小时有一定量的处理后的水和提取物流出。 请建立数学模型讨论其处理后水的剩余污物含量。 2题 基于数码相机的物体测量 数码相机测量在科学研究等方面有着广泛的应用。所谓数码相机 测量是指用数码相机拍摄物体的相片确定物体某些部分的长度。最常 用的方法是比例换算方法，即用比例尺进行实际长度与成像长度之间 的换算。现有某科研人员对一批发芽率优良的种子分别用 3681-4， Huang C，Han 21，Zong 3 四种试剂作为培养液进行培育，如图所示 为四种试剂培育后的发芽效果（图片见附件二）。 科研人员为了解决人工测量的所带来的问题，故采用数码相机测量， 请你们： 24 （1） 建立数学模型和算法以确定该相片中所有豆粒发芽 所形成的豆芽的长度； （2） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性 进行讨论。 3 题 抑制房地产泡沫问题 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情 况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。 因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。 现在请你就以下几个方面的问题进行讨论： 1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演 化机理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 4 题 工件的安装与排序问题 某设备由 24 个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 25 Ⅰ．设备的 24 个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边 缘上，放在每个扇形区域的 4 个工件总重量与相邻区域的 4 个工件总 重量之差不允许超过一定值（如 4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求， 即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值 （如 3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题 1．按重量排序算法； 问题 2．按重量和体积排序算法； 问题 3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体 积值范围，并输出排序结果。 请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计 算： 序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 26 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5 16 348 104.5 16 356.5 103.5 17 347.5 104 17 356 103.5 27 18 348 104.5 18 352.5 104 19 333 97 19 342.5 98 20 330 97 20 344 96.5 21 332.5 99 21 339.5 98 22 331.5 98 22 341.5 96 23 331.5 96.5 23 341 96 24 332 94.5 24 345 97 5题 商品房还贷方案设计 近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意 投资于房产。但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。 然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。注意：向银行借贷时间必 须以年为单位，如 1 年、2 年、3 年.…等。 第一问：2007 年 9 月 1 号，武汉市某高校教师王先生到武汉某 商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银 行还贷明细表。这个明细表给出了若向银行借了 1 万元钱、不同年限 28 的等额房贷还款额。王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息 房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借 1 万元，借 10 年。请 详细计算逐月还完 1 万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行 拿走的利息钱。 资料：等额房贷 特点：住房商业贷款中最基础、最普遍的品种。顾名思义，等额 房贷即“每个月所偿还的金额相同”，直到付清所有的本金和利息； 适合人群：等额房贷比较适合收入稳定的工薪阶层。 表 1 借银行 1 万元为例每月等额房贷还款明细表 实际还款年利 年限 月利率% 月还款（元） 率% 1 5.508 0.4590 858.40 2 5.508 0.4590 440.99 3 5.508 0.4590 302.00 4 5.508 0.4590 232.60 5 5.508 0.4590 191.05 10 5.7375 0.478125 109.71 29 15 5.7375 0.478125 82.97 20 5.7375 0.478125 70.14 第二问：王先生看中了一套 135m2、单价为 3230/m2 的房子，准 备 9 月 10 号前成交。他们家每月收入 5600 元，每月家庭开销在 1500-3000 元之间服从均匀分布，每年还有 3 万元的年终奖金。这时 候王先生手头有 15 万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的 购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要 指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于 20%） 。 第三问：但事情有变：2008 年 3 月 10 号，王先生经多方筹措， 借到了无息的款项 20 万（包括年终奖金 3 万），准备提前还款，但其 外甥 A 此时在本地购买了总房价为 20 万的房子，但首付不得低于 40%，但外甥 A 手头只有可支配现金 5 万元，每月全家收入 3500 元， 每月家庭开销在 1500-2000 元之间也服从均匀分布。她来向王先生借 钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案， 使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？ 第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了， 均想加入这一方案，并准备在 3 月份都购买房子，他们购买房子的总 价以及他们的经济情况见表 2。那么，王夫人怎样设计这 7 套房子的 购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。 即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、 30 总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。 表 1：借银行 1 万元为例每月等额房贷还款明细表 购买房 子的 手头可 支配的 每月开销 每月家 （均匀分 庭 首付最 年终奖 低比例 总价 现金 布） 总收入 1500-2000 外甥 B 35 万 15 万 5000 元 30% 2 万元 4000 元 30% 0 万元 3500 元 40% 3 万元 4500 元 30% 0 万元 3000 元 40% 5 万元 元 1200-1800 外甥 C 30 万 20 万 元 1000-1500 外甥 D 15 万 10 万 元 1200-1500 外甥 E 25 万 8万 元 800-1200 外甥 F 20 万 9万 元 第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量 多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的 观点吗？请说明理由。如果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱 31 投资这三个项目，各投资多少？ 表 3 三种项目（甲、乙、丙）12 年中后一年相对于前一年资产每年 的增长情况 年份 项目甲 项目乙 项目丙 1996 1.300 1.225 1.149 1997 1.103 1.290 1.260 1998 1.216 1.216 1.419 1999 0.954 0.728 0.922 2000 0.929 1.144 1.169 2001 1.056 1.107 0.965 2002 1.038 1.321 1.133 2003 1.089 1.305 1.732 2004 1.090 1.195 1.021 2005 1.083 1.390 1.131 2006 1.035 0.928 1.006 32 2007 1.176 1.715 1.908 注：例如 1996 年项目甲 1.300 的意思是：1996 年项目甲的最后 资产是 1995 年最后资产的 1.3 倍，其他类推。 6题 失业工人如何选择满意工作 政府为解决失业工人的再就业问题，积极提供就业机会，同时每月为 每一位失业工人发放一定数量的失业救济金，作为他们基本的生活保 障。失业工人在寻找工作的时候，若接受找到的第一个工作，则意味 他放弃了继续寻找可能找到更好工作的机会。因此，失业工人一般不 会马上接受找到的第一个工作，他通常会在心里预先设定一个最低工 资水平，若找到的工作其工资低于这个预先设定的最低工资水平，则 放弃该工作，继续寻找下一个工作，直至找到高于或等于预先设定的 最低工资水平的工作为止。 请你建立适当的数学模型，给出最低工资水平的决定条件，失业救济 金和最低工资水平的关系，并对失业工人找到满意工作之前的平均等 待时间（单位：月）作出合理的估计。 7题 汽车保险 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内， 若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为 0，1， 2，3 四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费 33 时，新客户属于 0 类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求 赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则 降低两个类别，否则为 0 类。客户退出保险，则不论是自然的还是事 故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。 现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽 然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少， 从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少 保险费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心 的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机 会减少 40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医 疗费会减少 20%到 40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表 1 和表 2。 保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表 1 和 2 的 数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降 20%和 40%的情况下， 公司今后 5 年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费：775 元 没有索赔时补 类别 新投保人 续保人数 总投保人 注销人数 贴比例（%） 数 34 数 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182 百万元，偿还退回：70 百万元，净收入：6112 百万元； 支出：149 百万元；索赔支出：6093 百万元，超支：130 百万元。 表2 本年度的索赔款 死亡司机人 平均修理费 平均医疗费 平均赔偿费 类别 索赔人数 数 （元） （元） （元） 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321 总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）； 35 总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费 6093（百万元）。 8题 大型运动会团体参赛成绩评价 2008 年我国在北京成功举办了第 29 届奥运会,极大地推动了我国体 育运动的蓬勃发展,但这次奥运会前后也出现了一些问题.原因之一 在于奥运会的排名规则.根据国际惯例,大会组委会和新闻媒体按照 金,银,铜奖牌总数和总分数公布各参赛单位的排名.个别国家为了在 奖牌榜上位居前列,脱离本国实际与基础较好的国家竞争,甚至采取 一些有违体育道德的行为.一些国家由于地域,经济投入等客观原因 长期在奖牌榜上位居末尾,难以有大的进步,严重挫伤了他们发展体 育事业的积极性.因此有必要对单纯以奖牌数和总分数来衡量各单位 的体育事业成就的评价体系做出改进. 要求: 1. 充分考虑各国家的经济,社会因素; 2. 对参赛队取得的成绩做出公正合理的评价; 3. 以奥运会的成绩给出结论; 4. 评价设计的方案与现行办法的优缺点 9题 降落伞的选择 36 为向灾区空投救灾物资共 2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高 度为 500m，要求降落伞落地时的速度不能超过 20m/s。降落伞面为半 径 r 的半球面，用每根长共 16 根绳索连接的载重 m 位于球心正下方 球面处，如右图。 每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用 C1 由伞的半径 r 决定， 见表 1；绳索费用 C2 由绳索总长度及单价 4 元/米决定；固定费用 C3 为 200 元。 降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积 的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径 r=3m、载重 m=300kg 的 降落伞从 500m 高度作降落试验，测得各时刻 t 的高度，见表 2。 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表 1 中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。如果救灾物资 以每袋 100kg 或 200kg 等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不 可将一包分开)，降落伞的选购方案如何？ 表1 (m) 2 2.5 3 C1(元)65 170 350 3.5 660 表2 37 4 1000 3 470 6 425 9 372 317 10 题 12 15 18 264 215 160 21 108 24 55 最佳旅游路线设计 王先生夫妇是华东某高校的年轻教师，打算暑假中到新疆旅游。 受文学作品的影响，天池、达坂城、吐鲁番、楼兰古城、伊犁都是他 们十分向往的地方，新疆的其他地方对他们也有很大的吸引力。 1．请你们为他们设计合适的旅游路线，使他们在今年暑假一个月 的时间里花最少的钱游尽可能多的地方，并估算除吃饭之外的费用。 2．如果他们打算今、明两年暑假完成对新疆的旅游，请你们为他 们设计合适的旅游路线，使在新疆境内的交通费用尽量地节省。 3．如果华东某高校的少数民族研究所组织对新疆文化考察，考察 分三组进行，用于交通的时间和前两种情况相同，但考察时间是旅游 观光时间的四倍，请你们为他们设计合适的考察路线，以便尽早完成 考察任务。 4．新疆自治区旅游部门为迎接“十一旅游黄金周”（考虑到远途 旅游，自治区内游程延长为十二天）准备为自治区外的游客组织多条 旅游路线以分散游客，提高接待的质量。在假设参加你们设计的各条 38 2 1 路线的游客人数与整条路线的接待能力成比例的条件下，请你们为新 疆自治区旅游部门设计合适的、准备向游客推介的全部旅游路线。 各旅游点之间的路程、每个景点的最佳逗留时间等信息可以登陆 新疆旅游网。你也可以对题目做进一步的完善。 11 题 篮球比赛问题 运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。篮 球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是 判定运动队竞赛成绩的客观标准。 某大学有 12 个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮 球比赛。首先进行分组赛，共分两组，每组 6 支代表队；小组赛结束 后，每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。附表 1 和附表 2（附 表略）分别为第一组和第二组的比赛结果。请你根据这些数据，研究 各个代表队的下列问题： （1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。 （2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标 进行排序。 （3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。 （4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠， 并将这 12 支代表队的名次进行排序。 39 （5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队 的竞技水平。 12 题 减速路障的放置 某单位地处主干道边上，车流量较大，车速平均每小时 60 公里， 对人员进出造成了一定的威胁。现在有关部门打算在该路段放置减速 路障，达到使来往车辆减速的目的。 （1）建立减速路障减速的数学模型； （2）利用所建的数学模型分析在等距设置三道减速路障情况下 的减速效果； （3）利用所建的数学模型分析减速效果最优的三道减速路障的 设置方案； （4）给交管部门写一封建议信。 13 题 热源反演问题 利用某些附加条件确定热传导问题中的热源位置无论是在理论 上还是实际工程应用中都具有十分重要的意义。假设有一根金属细长 杆，两端温度保持零度，各向同性，内部有热源连续分布在某区域， 如下图示， 40 如果初始温度分布数据可以测量得到， （1）假设热源位置和强度均为已知，试建立相应的数学模型以 确定经过一段时间后长杆上的温度分布。 （2）假设热源强度为已知，不妨设为常数，而热源位置未知， 如果经过一段时间后长杆上的温度分布数据可以测量得到，试建立相 应的数学模型以确定热源的位置。 14 题 快递公司送货策略 目前，快递行业正蓬勃发展，为我们的生活带来更多方便。一般 地，所有快件到达某地后，集中存放在总部，然后由业务员分别进行 派送；对于快递公司，为了保证快件能够在指定的时间内送达目的地， 必须有足够的业务员进行送货，但是，太多的业务员意味着更多的派 送费用。 假定所有快件在早上 7 点钟到达，早上 9 点钟开始派送，要求与 当天 17 点之前必须派送完毕，每个业务员每天平均工作时间不超过 6 小时，在每个送货点停留的时间为 10 分钟，途中速度为 25km/h，每 次出发最多能带 25 千克的重量。为了计算方便，我们将快件一律用 重量来衡量，平均每天收到总重量为 184.5 千克，公司总部位于坐标 41 原点，每个送货点的位置和快件重量如下表所示，并且假设街道平行 于坐标轴方向。 1. 请你运用有关数学建模的知识，给该公司提供一个合理的送 货策略（需要多少业务员，每个业务员的运行线路，以及总 的运行公里数） 。 2. 如果业务员负重时的速度是 20km/h，获得酬金是 3 元/km*kg； 而不携带快件时的速度是 30km/h，酬金是 2 元/km，请为公 司设计一个费用最省的策略。 坐标(km) 坐标(km) 送货点 快件量 T 送货点 x y 快件量 T x y 1 8 3 2 16 3.5 2 16 2 8.2 1 5 17 5.8 6 18 3 6 5 4 18 7.5 11 17 4 5.5 4 7 19 7.8 15 12 6 3 0 8 15 3.4 19 9 5 4.5 3 11 32 6.2 22 5 42 7 7.2 7 9 22 6.8 21 0 8 2.3 9 6 23 2.4 27 9 9 1.4 10 2 24 7.6 15 19 10 6.5 14 0 25 9.6 15 14 11 4.1 17 3 26 10 20 17 12 12.7 14 6 27 12 21 13 13 5.8 12 9 28 6.0 24 20 14 3.8 10 12 29 8.1 25 16 20 4.6 7 14 30 4.2 28 18 点的分布如下图： 43 y 20 15 10 5 5 10 15 15 20 25 x 请你来排课表 现有课程 40 门，编号为 C01～C40；教师共有 25 名，编号为 T01～T25；教室 18 间，编号为 R01～R18。具体属性及要求见表 1， 表 2，表 3： 课表编排规则：每周以 5 天为单位进行编排；每天最多只能编排 8 节课（上午 4 节，下午 4 节） ，特殊情况下可以编排 10 节课（晚上 2 节），每门课程以 2 节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排 在同一时间。 44 你所要解决的问题： 1. 请你结合实际情况建立数学模型，通过编程计算，给出较为合理 的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。 2. 如果不准晚上排课，排课结果是否有所变化，如何变化？ 3. 对教师聘用，教室配置给出合理化建议。 表 1：课程属性及要求： 对教室座 课程编 课程类 对教室 时间要 类别要求 求 周课时数 位最大要 号 别 求数 C01 1 4 50 多媒体教室 上午 C02 1 4 30 普通教室 下午 C03 1 6 40 普通教室 下午 C04 1 4 25 多媒体教室 上午 C05 1 3 60 普通教室 下午 C06 2 4 100 普通教室 下午 C07 2 4 50 多媒体教室 上午 45 C08 2 2 30 普通教室 上午 C09 2 4 40 普通教室 下午 C10 2 3 25 多媒体教室 上午 C11 3 6 60 普通教室 上午 C12 3 4 80 普通教室 上午 C13 3 6 50 多媒体教室 下午 C14 3 2 30 普通教室 下午 C15 3 3 40 普通教室 下午 C16 4 4 25 多媒体教室 上午 C17 4 4 60 普通教室 下午 C18 4 6 90 普通教室 上午 C19 4 4 50 多媒体教室 上午 C20 4 2 50 普通教室 上午 C21 5 4 30 普通教室 上午 46 C22 5 4 40 多媒体教室 下午 C23 5 3 25 普通教室 上午 C24 5 6 60 普通教室 下午 C25 5 4 100 多媒体教室 上午 C26 6 3 50 多媒体教室 下午 C27 6 4 30 普通教室 下午 C28 6 4 40 普通教室 下午 C29 6 4 50 多媒体教室 上午 C30 6 4 30 普通教室 下午 C31 7 6 40 普通教室 上午 C32 7 4 25 多媒体教室 下午 C33 7 3 60 普通教室 无 C34 7 4 80 多媒体教室 上午 C35 7 4 50 普通教室 下午 47 C36 8 6 30 机房 无 C37 8 4 40 机房 上午 C38 8 2 25 机房 上午 C39 8 4 60 机房 下午 C40 8 4 50 机房 无 表 2：教师属性： 能胜任 教师编 周最大 尽可能不同 对教室类别要 上课时 课程类 号 别 天上课的教 求 课时数 间要求 师 多媒体教室或 T01 1，8 4 上午 T4 机房 T02 1 4 普通教室 下午 T03 1 6 普通教室 上午 T04 2 4 多媒体教室 上午 48 T1 T05 2 4 普通教室 下午 T06 2 6 普通教室 无 T07 3 4 普通教室 上午 普通教室或机 T08 3，8 3 下午 房 T09 3 4 普通教室 上午 T10 3 6 多媒体教室 上午 T11 4 8 普通教室 下午 T12 4 4 普通教室 无 T13 4 6 多媒体教室 下午 T14 5 2 普通教室 上午 T11,T18 T9, 普通教室或机 T15 5，8 3 下午 房 T16 5 4 普通教室 上午 T17 6 4 普通教室 下午 49 T23 T18 6 6 普通教室 无 T19 6 4 多媒体教室 下午 T20 7 4 普通教室 上午 T21 7 6 普通教室 下午 T22 7 6 多媒体教室 上午 T9 普通教室或机 T23 3，8 4 无 房 普通教室或机 T24 4，8 6 上午 房 普通教室或机 T25 6，8 4 下午 房 表 3：教室属性： 教室编 最大座位数 教室类别 100 多媒体教室 号 R01 50 T15 R02 100 普通教室 R03 100 普通教室 R04 50 多媒体教室 R05 50 普通教室 R06 50 普通教室 R07 50 普通教室 R08 60 普通教室 R09 60 普通教室 R10 60 多媒体教室 R11 60 普通教室 R12 60 机房 R13 40 机房 R14 40 机房 R15 40 机房 51 R16 40 多媒体教室 R17 50 普通教室 R18 40 普通教室 16 万亿投资与劳动力就业 2008 以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带 来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失 业。据有关资料估计，从 2008 年底，相继有 2000 万人被裁员，其中 有 1000 万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业 压力，但 2009 年的 600 多万毕业大学生给我国就业市场带来压力巨 大 但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民 储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平， 建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问 题带来希望，实行政府投资理所当然。 在 2009 年两代会上，我国正式通过了 4 万亿的投资计划，目的 就是保 GDP 增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们， 52 请你运用数学建模知识加以解决。 第一，GDP 增长 8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分 就业，2009 年的 GDP 到底要增长多少？ 第二，要实现 GDP 增长 8%，4 万亿的投资够不够？如果不够，还 需要投资多少？ 第三，不同的产业（或行业）吸纳的劳动力就业能力不同，因此 投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4 万 亿的投资应该如何分配到不同的产业（或行业）里？ 第四，请你给出相关的政策与建议（不超过 1000 字） 17 水库排污问题 某条江流上有 2 条支流，每条支流上都兴建了规模相当的水库。 由于正处在雨水多发季节，因此两个水库都以一定规模的流量进行泄 洪。某天晚上 10：00，在其中的一个水库中发生了两船相撞的事故， 而其中的一条船装载的 p 吨化学物质（这里的化学物质可以是具有挥 发性的，也可能是急难挥发的）全部泄漏至水库中。当水上航运事故 处置中心接获事故报告，立即要求该水库关闭水库泄洪闸，以免化学 物质随洪水流入干流，发生更大规模的污染。水库闸门开始关闭时， 已经处在事故发生后的 1 个小时，而水库闸门彻底关闭也需要 1 个小 时的时间。 根据当地环境监测的有关规定，干流大面积污染的危险 53 警戒值设为：三小时内 q 吨该化学物质发生泄漏。 (1) 试建立合理的数学模型，讨论由于此次事故的发生，干流 发生大面积污染的可能性； (2) 如果在另外的一水库中有一化工厂违规排放废料。废料中 同样含有该化学物质。该工厂为躲避环境监测站的监控，均在晚上 9：00-12：00 违规进行周期性排放。在这种情形下，讨论由于此次 事故的发生，干流发生大面积污染的可能性； (3) 如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠相连接，水渠 中的水流流向不定，但保证两水库之间的水流能够相互影响。那么上 述结果是否会改变？请给出说明，若有改变，则给出修正的模型及结 果； (4) 如果发生了大面积污染，那么针对第三种情况，试给出在 短时间内控制污染模型。 54 18 影院座位设计问题 下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和 仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越 好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使 o 人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过 30 。 设影院屏幕高 h, 上边缘距地面高 H，地板线倾角θ，第一排和 最后一排座位与屏幕水平距离分别为 d 和 D, 观众平均坐高为 c（指 眼睛到地面的距离）。已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1.1 （单位：m）。(如图所示) o (1) 地板线倾角θ＝ 10 ，问最佳座位在什么地方。 (2) 求地板线倾角θ（一般不超过 20 ），使所有观众的平均满 o 意程度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。 55 19 燃气输送问题 (1) 气体从压力高处向压力低处运动，燃气公司依靠在气源处 加压来输送燃气。假设有企业和居民两类用户分布在距离气源处的不 同位置。两类用户的输出口气压标准，输出口管道的直径和用气量 56 （假定是常数）均不相同。假设主管道的直径为 d0 。请问如何在气源 处加压以满足燃气输送的要求。 (2) 大型燃气储气罐是一种作用与水库类似的设施。假设储气 罐可以随时输入和输出燃气，而其也可以在输出燃气时加压力。假定 用户的用气量随时间变化，如果气源处的压力不变，问如何调节储气 罐的压力以满足要求。 (3)城市燃气公司的燃气供给基本上是稳定的。一般将其视为一 个与时间无关的常数。而企业与居民的用气量却随时间有显著的变化。 尤其是在居民集中用气时会造成供气不足。现行通常的做法是：由行 政部门规定企业停工或部分停工给居民“让气”，其代价是工业生产 的损失。请参赛队讨论能够使得居民与企业“双赢”的策略。 20 流感疫苗接种问题 流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。疫苗 1 对菌种 1 有 85％的预防效果，对菌种 2 有 70％的预防效果；疫苗 2 对菌种 1 有 60 ％的预防效果，对菌种 2 有 90％的预防效果。两种疫苗不能在一个 人身上同时使用。 （1）为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？ （2）为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？ 57 （3）在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力 (平均的估计和最坏情况的估计） 21 全球卫星通讯系统中的数学问题 某家运载卫星公司考虑构建全球卫星通讯系统。 在地球赤道上空发 射若干颗地球静止轨道卫星。假设所有的静止轨道卫星的通信功能和 能力是相同的，并且每颗卫星的覆盖地球的锥形信号束的顶角为 A 度 （该参数值与具体卫星的设计相关，A 值越大卫星建造成本越高， A<=20 度），卫星信号束在地球上能够覆盖的区域中信号强度是均匀 分布的。 （1）如果要使得北京、东京、旧金山、多伦多、伦敦、巴黎、新加 坡、悉尼等城市能够使用该公司构建的全球卫星通讯系统，则在成本 节约的前提下，理论上该公司应如何设计卫星和构建卫星系统； （2）当从一颗卫星发出满足一定确定性模型的动态信号，而另一颗 构造完全相同的卫星接收该动态信号后（任意两颗正常工作的卫星可 以互相传送动态信号），随着时间的演化，两颗卫星的信号可以产生 同步的现象，这种现象在信号通讯中有广泛的应用，请用微分方程或 者差分方程来刻画这一同步现象；以上构建的卫星系统中是否可能出 现同步现象，请解释你们的结论。 58 （3）在以上构建的卫星系统中，若一颗或者两颗静止轨道卫星产生 了通讯故障，那么信号的同步现象是否可以仍然实现？为什么？ （4）若该公司考虑再发射两颗低轨道的移动卫星（移动卫星的轨道 与赤道平面呈 45 度角），从而和上述构建的卫星系统构成新的卫星 通讯系统，那么是否能够达到“即使有两颗静止卫星产生故障，同步 现象仍然可以实现”通讯要求？请进行论证。 22 乒乓球赛问题 A、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派 3 名选手上场，并各有 3 种选手的出场顺序（分别记为 a1,a 2,a 3 和 b1, b2, b3 ） 。根据过去的比赛记录，可以预测出如果 A 队以 a i 次序出场 而 B 队以 b j 次序出场，则打满 5 局 A 队可胜 aij 局。由此得矩阵 R =(aij ) 如下： b1 b2 b3 a æ2 R= 1ç a 2 ç0 a3 ç è5 1 4ö ÷ 3 4÷ 3 1÷ ø （1）根据矩阵 R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3）如果你是 A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ 59 （4）比赛为五战三胜制，但矩阵 R 中的元素却是在打满五局的情 况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ 23 海底地形图问题 海洋测绘船利用声纳绘制海底的地形图。测绘船上的声纳向海底 发射声脉冲，随后接收从海底反射的脉冲。发射的范围为与指向海底 的铅垂线夹角从 2°—30°之间。船只以 2 米/秒的速度行进，声脉 冲在海水中传播的速度约为 1500 米/秒。 试建立绘制海底地形图的数学模型，并对绘制海底地形图的方法 提出具体建议。 24 野兔生长问题 在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下： T=0 T=1 1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.9392 9 分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长 有异常现象，预测 T=10 时野兔的数量。 60 25 题铁路大提速下的弯道设计 我国铁路自 1997 年以来先后已进行了５次大提速，从以前的最 高时速 60 公里/小时至 80 公里/小时，到 2004 年 4 月 18 日的第５次 提速后，最高时速达到了 160 公里/小时至 200 公里/小时，其中京沪、 京广、京九、京哈等路段的最高时速已达到或超过 200 公里/小时。 据不完全统计，目前时速在 160 公里/小时以上的线路总长已达到 7700 多公里。根据我国的铁路资源状况和供需关系有必要提速，也 有进一步提速的能力，但提速要确保列车的安全运行，安全是第一位 的。铁路弯道的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一。一般 认为影响列车在弯道上运行的因素主要有弯道的弯曲程度、倾斜度 （即内低外高的倾斜度）、列车的行驶速度和列车的重量（见附件１） 等。 另外，已知我国铁路采用国际标准，二路轨宽距为 1.435 米（大 约 4.85 ft）；客车自重 15~17 吨，平均载重量为 10 吨；货车自重 22 吨，最大载重量为 60 吨；铁路设计标准规定行驶道上弯道半径最小 不得少于 350 米。 要研究的问题是： (1) 请你分析研究与弯道设计和列车安全运行有关的因素之间 的关系。 (2) 如果客货车的重量一定，按我国铁路目前的这种客货列车 混合运行的模式，要保证货车时速在 60~80 公里/小时，客车时速在 61 160~200 公里/小时运行，则应该如何来设计弯道（即弯曲度和倾斜 度如何），才能保证列车的安全运行？ (3) 按照你的设计方案，对列车的最低允许速度、最高允许速度和相 应的可靠性，以及进一步提速的可行性进行讨论。 26 题 防洪物资调运问题 我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年 在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和 人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。某 地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提 前做好某种防洪抗涝物资的储备。 已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家 级储备库两个，各库库存及需求情况见附件 1，其分布情况见附件 2。 经核算该物资的运输成本为高等级公路 2 元/公里•百件，普通公路 1.2 元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物 资可以通过公路运输互相调运。 （1）请根据附件 2 提供的信息建立该地区公路交通网的数学模 型。 （2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在 重点保证国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策 62 提供依据。 （3）根据你的调运方案，20 天后各库的库存量是多少？ （4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型 解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。 中断路段： 14 23 ， 11 25 ， 26 27 ，9 31 附件 1：各库库存及需求情况（单位：百件） 库存 现有库存 预测库存 最低库存 最大库存 产量（/天） 单位 企业 1 600 — — 800 40 企业 2 360 — — 600 30 企业 3 500 — — 600 20 仓库 1 200 500 100 800 — 仓库 2 270 600 200 900 — 仓库 3 450 300 200 600 — 仓库 4 230 350 100 400 — 仓库 5 800 400 300 1000 — 63 仓库 6 280 300 200 500 — 仓库 7 390 500 300 600 — 仓库 8 500 600 400 800 — 储备库 1 2000 3000 1000 4000 — 储备库 2 1800 2500 1000 3000 — 64 附件 2：生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图 21 58 16 45 65 17 22 仓库 5 52 仓库 2 56 72 23 45 50 18 22 14 仓库 1 30 58 36 8 46 28 20 19 企业 1 28 30 24 56 企业 2 60 11 6 29 仓库 7 13 78 50 80 48 12 储备库 1 70 40 27 32 40 30 30 28 4 10 5 40 68 70 32 48 41 50 26 40 28 26 18 25 38 15 50 9 32 80 75 52 7 28 38 9 62 10 48 50 42 52 70 62 85 40 31 仓库 4 35 2 3 1 50 30 储备库 2 15 62 39 50 32 102 98 45 25 34 企业 3 68 36 40 60 33 38 仓库 8 35 38 0 37 仓库 3 35 注： 高等级公路 1 2 3 普通公路 河流 等表示公路交汇点；30，50，28 等表示公路区间距离， 单位：公里，如 12 与 13 之间距离为 80 公里。 65 仓库 6 27 关于火车站股道和列检的问题 我国第六次铁路大提速已经于 2007 年 4 月 18 日正式展开。第六 次铁路大提速在京哈、京沪、京广、京九、陇海、浙赣、兰新、广深、 胶济等干线展开，列车运行最高时速达 200 公里，其中京哈、京广、 京沪、胶济线部分区段时速将达到 250 公里。这次提速受到了大家的 广泛关注，也为人们的出行带来了更大的方便。随着列车速度的提高， 如何保证列车的安全运行也成了一个比较重大的问题。 徐州火车站（以下简称徐州站）作为一个非常重要的铁路枢纽， 面临着更多的工作。徐州站共有 5 个站台，10 个股道。下图是徐州 站的站台和股道（即列车所走的轨道）的分布图。 66 图 1 徐州火车站站台和股道分布示意图 列车提速后，徐州站的旅客列车的到发情况见附表一。其中，“到” 表示列车到达徐州站的时间，“发”表示列车离开徐州站的时间，“股 道”表示列车在站内所经过的股道，“停站时分”表示列车在徐州站 停留的时间（单位：分钟）。 利用上面的信息，我们对以下两个问题进行研究。一般来讲，火 车站是分白班和晚班进行工作的。为了简化问题，我们只对上午八点 以后（包含八点）和晚上七点以前到达徐州站的列车进行分析。 问题一、股道的合理安排 1、研究各股道繁忙程度。 2、除了股道 6（股道 6 主要是直通车通过，且该股道上的列车 没有旅客上下车、列检等需求）外，如果要使各股道的繁忙程度大致 相同，而且空闲时间尽量均衡，如何调整各车次停留的股道。注意， 67 由于股道 6 与站台没有直接相连，对于有旅客上下车的列车是不能停 留在第 6 股道的。 问题二、旅客列车的列检问题 徐州站的客列检是一项十分重要的工作，对于保证列车的正常运 行和旅客安全等有着极其重要的作用。徐州站的客列检工作量大，对 参加列检的工作人员要求高。 为了保证客列检工作的正常进行，对客列检进行合理的分工，对 保障列检作业过程的安全和工作人员的积极性有一定的作用。 现对徐州站客列检工作简介如下： I、列车的简要分类 根据列检工作的要求，我们对列车作如下分类：始发车，就是以 徐州站为始发站的列车；终到车，就是以徐州站为终点站的车；其余 的为通过车。 II、需要列检的车满足的条件 根据客列检技术检查作业标准：终到车不需要列检；始发车一般 在开出徐州站前 15 分钟进行列检。 对于通过车，在站时间小于 6 分钟的不需要列检；在站时间为 6～20 分钟的，列车在站期间，全部需要列检；在站时间大于 20 分 钟的，列车进站后 10 分钟和列车出站前 10 分钟进行列检。 在对列车进行列检时，必须在列车上悬挂号志（一般为旗子）， 68 来表示列车正在进行列检。 III、列检工作人员的相关作业要求 ①一般来说，列检人员需要在列车进站前 3 分钟到达相应的股道 等待列车的到达；列检人员需要在列车完全离开车站后离开作业股道。 ②当某个列检作业队需要列检的下一列车 30 分钟后才会到达时， 作业队可以回到股道两端的休息室等待，此时，作业队对下一列车进 行作业时不需要胯股道。 ③列检工作按作业队进行，每列需要列检的列车由一个作业队负 责，每个作业队在对某一列车进行列检完成后，才能对另外的列车进 行列检。 对于徐州站的列检工作，我们考虑安排 5 个作业队进行。 1、由于作业队在进行跨股道作业时，会有危险存在，故请你考 虑，如何给 5 个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数目尽 量地少。 2、如何对 5 个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数 目尽量地少，且各个作业队的工作量（即列检的列车的数目）基本一 致。 3、（1）在满足 2 中的条件的前提下，如何使得各个作业队的繁 忙程度基本相同（即不会出现某作业队在某时间段内没有进行任何工 作，而其他作业队进行了很多列车的列检工作）； 69 （2）在满足 2 中的条件的前提下，如何给各个作业队安排出 时间吃午饭，且吃饭时间尽量与人们的正常吃午饭时间一致（如 11： 00 －13：00，当然可以做适当的提前或延后）。要求各个作业队的吃饭 时间不小于 30 分钟。请给出各个作业队的具体吃饭时间。 如果你认为 5 个作业队不能在满足相关作业要求的前提下，完成 相关列车的列检，请给出充足的理由，并考虑安排更多的队进行列检 工作，解决上面的几个问题；或者考虑通过对个别列车（主要是普客） 的进站时间进行适当的延迟后（则出站时间需要作相应的延迟），5 个作业队是否能完成相关列车的列检工作（可以认为对普客作出的进 站时间延迟是由列车的晚点引起的） 。 特别约定（为了简化问题，该约定根据实际情况进行了适量的简 化）： 1、 始发车在出站前 30 分钟进入相应股道；终到车到站后，大概 在股道停留 20 分钟后，离开相应股道。 2、 同一股道上不能同时有两列车停留。要求同一股道上停留的两 列车之间最小时间间隔为 10 分钟（即若安排某列车进入某股道， 必须保证该股道在列车进站前 10 分钟已经没有列车停留），当然 时间间隔越大，越安全。 3、 若需要跨股道作业，跨股道需要的时间按以下方案处理： i、在某站台两侧的股道，如股道 2 和股道 3，在 2 站台的两侧，则 作业队列检完股道 2 上的列车后，可以直接转身去等待股道 3 上列车 70 的到来。可设从股道 2 到股道 3 需要 1 分钟。其他类似情况可作同样 的处理。 ii、如果某股道上没有车（为了安全起见，要求在 5 分钟内该股道上 不会有列车到达，否则，则不能跨越该股道）可以直接跨越，设跨越 一个股道需要的时间为 1 分钟。 iii、若股道上有列车，且有号志（即在列检），列检人员可以从列车 下面过去，直接跨越股道，认为跨越 1 个股道需要的时间为 1 分钟。 iv、若中间股道上有列车（没有号志）不可以跨越股道，则作业队必 须先到站台两端再到达相应股道。可以设若两股道数之差小于 3 时， 则需要 6 分钟到达相应的位置。若两股道数之间的差大于或等于 3， 则需要 8 分钟到达相应位置。 附表 1 徐州站旅客列车时刻表 徐州站旅客列车时刻表 二 00 七年四月十八日零时实行 序号 车次 1 Z74 运行区间 列车种类 合肥-北京 直达特快 71 到 发 0:00 股道停站时分备注 3 2 Z30 扬州-北京 直达特快 3 5002 连云港东-徐州 普客 4 Z50 南京-北京 直达特快 0:12 3 5 T105 济南-上海 特快 0:1226 0:1826 8 6 Z6 上海-北京 直达特快 0:18 3 7 Z2 上海-北京 直达特快 0:24 3 8 Z14 上海-北京 直达特快 0:30 3 9 2555 东营-南京西 普客 10 Z22 上海-北京 直达特快 0:36 3 11 Z8 上海-北京 直达特快 0:42 3 12 K293 四方-上海 快速 13 Z10 杭州-北京 直达特快 14 Z52 南通-北京 直达特快 0:52 15 Z86 苏州-北京 直达特快 72 0:06 0:10 0:36 0:48 3 10 0:44 0:54 0:48 1:04 0:54 7 5 6 8 6 3 8 3 12 16 1113 沧口-汉口 普客 0:55 1:09 9 14 17 1708/5 郑州-杭州 普客 0:56 1:04 1 8 18 Z42 上海-天津 直达特快 19 T34 上海-天津 特快 1:13 1:18 4 5 20 K161 北京-南京西 快速 1:18 1:26 7 8 21 5006 连云港东-徐州 普客 1:21 22 K206 成都-四方 快速 1:23 1:31 2 8 23 T164/5 上海-拉萨 特快 1:23 1:29 1 6 24 K205 四方-成都 快速 1:28 1:36 3 8 25 T64 合肥-北京 特快 1:3541 1:4341 4 8 26 Z41 天津-上海 直达特快 1:4145 6 27 T66 南京西-北京 特快 1:4721 1:5521 2 8 28 Z51 北京-南通 2:01 9 12 29 1132 西安-烟台 2:03 1 13 1:00 直达特快 1:49 普客 73 1:50 3 10 隔日 30 Z9 北京-杭州 直达特快 1:54 6 31 Z21 北京-上海 直达特快 2:00 6 32 Z13 北京-上海 直达特快 2:06 6 33 Z7 北京-上海 直达特快 2:12 6 34 K152/3 上海-郑州 快速 2:14 3 35 Z85 北京-苏州 直达特快 2:18 6 36 T104 上海-北京 特快 2:2221 2:2821 2 37 Z1 北京-上海 直达特快 2:24 6 38 T110 上海-北京 特快 2:2821 2:3421 4 6 39 1660/57 洛阳-上海 普客 2:29 1 6 40 Z5 北京-上海 直达特快 41 T155 哈尔滨-泰州 特快 2:37 2:49 9 12 42 1514/1 宜昌-无锡 普客 2:40 2:48 3 8 43 北京-上海 普客 2:45 2:55 8 10 1461 74 2:35 2:30 6 6 44 T52/3 上海-乌鲁木齐 特快 2:4921 2:5521 1 6 45 K566/3 太原-南通 快速 2:50 3:00 5 10 46 2033 沧口-郑州 普客 2:52 3:02 7 10 47 2034 郑州-沧口 普客 3:00 3:28 4 28 48 1352/3 上海-成都 普客 3:04 3:10 2 6 49 T178 杭州-济南 特快 3:15 3:21 3 6 50 T109 北京-上海 特快 3:18 3:24 9 6 51 T103 北京-上海 特快 3:24 3:30 8 6 52 K560/57 上海-延安 快速 3:28 3:34 1 6 53 K188 上海-沈阳北 快速 3:35 3:43 5 8 54 1658/9 上海-洛阳 普客 3:47 3:55 2 8 55 K558/9 延安-上海 快速 3:53 4:14 4 21 56 T106 上海-济南 特快 3:5411 4:01 1 6 57 Z73 北京-合肥 直达特快 75 3:58 6 58 Z29 北京-扬州 直达特快 4:04 6 59 Z49 北京-南京 直达特快 4:10 6 60 1114 汉口-沧口 普客 4:10 4:26 3 16 61 X237 哈尔滨-杭州 行包 4:28 4:43 10 15 62 1342 杭州-齐齐哈尔 普客 4:30 4:38 4 8 63 1442/3 汉口-连云港东 普客 4:36 4:50 3 14 四方-福州 快速 4:37 4:45 7 8 65 1706/7 杭州-郑州 普客 4:40 5:09 5 29 66 K282/3 上海-成都 快速 4:48 4:56 1 8 67 T140/37 西安-上海 特快 4:55 5:01 9 6 68 K162 常州-北京 快速 5:02 5:04 3 2 69 1131 烟台-西安 普客 5:07 5:15 4 8 70 T65 北京-南京西 特快 5:14 5:22 9 8 71 T63 北京-合肥 特快 5:20 5:28 8 8 64 K67 76 72 1228 上海-阜新 普客 5:22 5:24 5 2 73 T131 大连-上海 特快 5:2825 5:48 7 20 74 K102 温州-北京 快速 5:29 5:31 4 2 75 T166/3 拉萨-上海 特快 5:31 5:37 3 6 76 K372 上海-太原 快速 5:36 5:38 1 2 77 K76 宁波-吉林 快速 5:43 5:45 2 2 78 K107 北京-徐州 快速 5:53 79 K420/17 兰州-泰州 快速 6:00 6:20 8 20 80 X102 上海西-黄村 特快行邮 6:02 6:10 5 8 81 K371 太原-上海 快速 6:09 6:15 9 6 82 T118/5 兰州-上海 特快 6:1813 6:2413 3 6 83 T32 杭州-北京 特快 6:19 6:27 1 8 84 K552 温州-哈尔滨 快速 6:30 6:35 2 5 85 1148/9 宝鸡-连云港东 普客 6:45 7:02 8 17 77 10 隔日 86 5049 徐州-连云港东 6:45 7 87 X101 黄村-上海西 6:57 9 8 88 K187 沈阳北-上海 快速 7:00 7:08 5 7 89 2582 金华西-烟台 普客 7:08 7:16 2 8 90 8406 徐州-杨屯 通勤 7:20 4 91 K561 徐州-南京 快速 7:24 1 92 5029 徐州-连云港东 普客 7:29 5 93 T114/1 兰州-南京西 特快 7:37 7:45 4 8 94 乌鲁木齐-上海 特快 8:2213 8:2813 1 6 95 K596/3 乌鲁木齐-南京西 快速 8:53 5 8 96 8405 杨屯-徐州 通勤 9:15 97 K101 北京-温州 快速 9:02 98 7062 沛屯-徐州 普客 9:06 99 K55 哈尔滨-上海 快速 9:10 T54/1 普客 特快行邮 6:49 78 9:01 隔日 10 9:11 9 9 2 9:22 7 12 100 K515 长春-上海 快速 9:28 101 5031 烟台-徐州 普客 9:48 102 K174 西宁、兰州-四方 快速 9:52 10:25 3 33 103 K255 包头-宁波 快速 10:03 10:12 7 9 104 7061 徐州-沛屯 普客 10:05 2 105 1227 阜新-上海 普客 10:09 10:20 9 11 太原-连云港东 普客 10:21 10:40 8 19 10:45 5 106 1554/1 9:37 8 9 4 107 N392 徐州-沧口 快速 108 5050 连云港东-徐州 普客 10:58 109 T160 广州东-四方 特快 11:33 11:54 3 21 110 1034 金华西-沈阳北 普客 12:12 12:25 5 13 111 7052 连云港东-徐州 普客 12:21 9 112 5007 济南-徐州 普客 12:43 7 113 5001 徐州-连云港东 普客 79 10 13:00 10 隔日 114 5048 连云港东-徐州 普客 13:12 115 1085 济南-乌鲁木齐 普客 13:32 13:40 4 8 隔日 116 1088/5 连云港东-乌鲁木齐 普客 13:32 13:40 4 8 隔日 117 5005 徐州-连云港东 普客 13:42 8 118 1470 徐州-哈尔滨 普客 13:54 1 119 5008 徐州-济南 普客 14:04 7 120 K15 济南-重庆北 快速 14:26 14:34 2 121 7064 沛屯-徐州 普客 14:46 连云港东-广州 快速 14:49 122 K304/1 10 8 4 14:57 8 123 D32 上海-北京 动车组 124 K551 哈尔滨-温州 快速 15:13 15:21 10 8 125 1033 沈阳北-金华西 普客 15:22 15:30 8 8 126 7051 徐州-连云港东 普客 15:30 9 127 2526/7 上海-连云港东 普客 16:06 3 80 15:08 1 15:56 3 10 128 T159 四方-广州东 特快 129 D31 北京-上海 动车组 130 7063 徐州-沛屯 普客 131 1066/3 汉口-威海 普客 132 K75 吉林-宁波 133 K562 134 16:23 16:53 16:32 1 30 6 16:32 4 16:55 17:06 5 11 快速 16:56 16:59 8 3 南京-徐州 快速 17:04 4 N391 沧口-徐州 快速 17:18 10 135 K290/1 上海-成都 快速 17:34 17:40 2 6 136 K376/7 上海-西宁 快速 17:41 17:48 1 7 137 K16 重庆北-济南 快速 18:11 18:19 2 8 138 X238 杭州-哈尔滨 行包 18:16 18:31 7 15 139 K248/5 扬州-成都 快速 18:31 18:43 4 12 乌鲁木齐-济南 普客 18:39 18:47 3 8 隔日 普客 18:39 18:47 3 8 隔日 140 1086 141 1086/7 乌鲁木齐-连云港东 81 142 K108 徐州-北京 快速 18:55 1 143 8402 徐州-杨屯 通勤 18:55 9 144 1444/1 连云港东-汉口 普客 19:00 19:18 3 18 145 上海-哈尔滨 快速 19:04 19:16 2 12 146 1502/3 北京西-连云港东 普客 19:04 19:22 8 18 147 福州-北京 快速 19:18 19:26 4 8 148 K564/5 南通-太原 快速 19:20 19:31 7 11 149 1592/3 杭州-大同 普客 19:27 19:39 1 12 150 上海-长春 快速 19:43 19:51 2 8 151 1552/3 连云港东-太原 普客 19:49 20:01 9 12 152 1064/5 威海-汉口 普客 20:00 20:24 4 24 153 T112/3 南京西-兰州 特快 20:040420:1204 1 8 154 2528/5 连云港东-上海 普客 20:19 20:30 8 11 155 K234/5 上海-石家庄 快速 20:25 20:31 2 6 K56 K46 K516 82 156 5032 徐州-烟台 普客 20:30 5 157 1150/47 连云港东-宝鸡 普客 20:40 9 158 5047 徐州-连云港东 普客 20:32 10 159 1478 镇江-北京 普客 20:47 20:55 1 8 160 1504/1 连云港东-北京西 普客 20:50 21:03 3 13 161 8401 杨屯-徐州 通勤 21:01 162 2556 南京西-东营 普客 20:57 21:08 2 11 163 1341 齐齐哈尔-杭州 普客 21:02 21:10 9 8 164 K378/5 西宁-上海 快速 21:06 21:18 5 12 165 K292/89 成都-上海 快速 21:17 21:25 4 8 166 北京-福州 快速 21:28 21:36 9 8 167 1594/1 大同-杭州 普客 21:30 21:42 7 12 168 K360/1 上海-银川 快速 21:33 21:43 1 10 169 宁波-包头 快速 21:42 21:54 5 12 K45 K256 83 20:30 10 10 170 T177 济南-杭州 特快 21:43 21:49 8 6 171 T132 上海-大连 特快 21:572122:0521 4 8 172 K362/59 银川-上海 快速 22:02 22:08 3 6 173 2581 烟台-金华西 普客 22:05 22:20 9 15 174 1469 哈尔滨-徐州 普客 22:14 175 T138/9 上海-西安 特快 22:172122:2321 2 176 K302 广州-徐州 快速 22:19 177 1354/1 成都-上海 普客 22:28 8 18 178 T116/7 上海-兰州 特快 22:322122:3821 1 6 179 K154/1 郑州-上海 快速 22:3840 180 K236/3 石家庄-上海 快速 22:50 22:52 4 2 10 6 5 22:46 6 181 K173 四方-兰州、西宁 快速 22:58 23:18 7 20 182 K68 福州-四方 快速 22:58 23:08 3 10 泰州-兰州 快速 23:02 23:26 2 24 183 K418/9 84 184 T31 北京-杭州 特快 23:064023:1440 9 8 185 T33 天津-上海 特快 23:19 23:27 10 8 186 1462 上海-北京 普客 23:21 23:23 4 2 187 1477 北京-镇江 普客 23:27 23:33 8 6 188 K594/5 南京西-乌鲁木齐 快速 23:32 23:40 1 8 189 K284/1 成都-上海 快速 23:32 23:50 5 18 190 K294 上海-四方 快速 23:38 23:44 2 6 191 T156 泰州-哈尔滨 特快 23:40 23:52 9 12 192 K246/7 成都-扬州 快速 23:40 23:52 7 12 193 1512/3 无锡-宜昌 普客 23:52 0:01 1 9 说明：下面的表格分别表示 5 T105 济南-上海 特快 0:12260:1826 8 6 T105 次列车是从济南出发到上海的，属于特快列车，到达徐州 站的时间是 0 点 12 分 26 秒，离开徐州站的时间是 0 点 18 分 26 秒， 在徐州站共停留 8 分钟，列车停留在第 6 股道。 85 6 Z6 上海-北京 直达特快 0:18 3 Z6 次列车是从上海出发到北京的，属于直达特快列车，0 点 18 分经过徐州站，在徐州站共不停车，列车从第 3 股道经过。 从徐州始发列车提前 30 分钟进站。 28 自来水的定价 水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，也一个非 常敏感的社会问题。目前大部分自来水公司都在亏损运转，提高水价 会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以， 国家和政府对水价调整是甚之又甚。下面是两篇关于 A 市水价调整听 证会的报道（附件１和附件２）（题目的附件略），请认真阅读，并 参考附件 3 的经济统计数据，研究解决下列问题： （1）根据 A 市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价， 尤其是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。 （2）你能否给出更合理的水价方案？并给政府提出合理化建议。 （3）请你分析预测新的水价方案后的节水量是多少？ 29 题 人民币汇率对经济的影响 86 近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的 影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者 希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题： 1．以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响； 2．人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系； 3．人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。 30 题 三峡永久船闸陡高边坡开挖的优化设计问题 三峡工程永久船闸是在山体中开挖的既高又陡的深槽(槽中放置 船闸)。其剖面简化如图一, 底宽为 S 米, 高为 H 米, 坡角为α(待求)。 山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力σ0＝ μγH, 其中, 侧压力系数为μ, 山体的容重为γ, 山体的磨擦系数为 K, 山体的粘聚力为 C。岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡 可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加 固。已知每千牛顿阻滑力费用为 R1, 开挖每立方米岩石费用为 R2。 在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值 fs 的条件下, 确定总造价最少的最佳开挖坡角α。 滑动面 开挖面 H 87 α α S （图一：工程开挖剖面图） 实例：底宽 S＝300 米, 高为 H＝170 米, 山体的容重为γ＝27 千牛顿 /每立方米, 稳定安全系数 fs＝1.2, 侧压力系数μ＝0.8, 山体的磨 擦系数 K＝1.2, 对山体进行加固的费用 R1＝30 元/牛顿米, 开挖的费 用 R2＝100 元/立方米, 粘聚力 C＝2MPa。 【1】刘志斌 王志宏.圆弧滑坡最危险滑弧圆心位置的求解方法.煤炭 学报.1997 88 31 题: 高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 问题背景：现代高层商务楼中一般都配套了多台电梯，因此如何安排 好各台 电梯的运行方式，既能保证大楼内各公司员工的正常工作和 出行，又 能降低能耗，节约成本，是大楼物业管理中的重要内容之 一。在一般 高层商务楼中，经常采用的是分层次或单双层的运行方 式，或者某部 电梯直达某高层以上的方法，试从节约能源和尽力满 足客户需求这两 个角度，具体评价这些方案的优劣。 实际问题探讨：现有一商务楼，层高 25 层，每层的员工数在 220-260 之间，员工上班时间均为上午 9 时至下午 17：30 分。大楼 内有客用电梯 6 台， 另有一台消防电梯。 电梯运行速度大约为 1.7m / s ，大楼的层高为 3.2m（装修以后的，装修前为 4.1m）。 试建立一个合适的电梯运行方案（包 括闲时和忙碌时），使尽可能 降低能耗但又不至于使用户有较大的不 舒服。 若大楼另有两层底下车库，方案该做如何调整？ 32 题 某地人事部门为研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育 程度及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事 策略的合理性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况 是否会影响收入。为此，从当地教师中随机选了 3414 位进行观察， 89 然后从中保留了 90 个观察对象，得到了下表相关数据。 Z=月薪（元）； X1=工作时间（月）； X2=性别（1 男， 0 女）； X3=（1 男性或单身女性，0 已婚女性）； X4=学历（数值 越大学历越高）； X5=受聘单位（1 重点，0 其他）； X6=（0 未受过培训的毕业生或肄业生，1 受过培训的毕业生） X7=（1 已两年以上未从事教学工作，0 其他） 问题： 1）薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间是否 有关系，有则建立关系数学模型，通过你的模型分析人事策略的合理 性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况是否会影响 收入等； 2）表中没有给出教师的职称信息，能否用数学建模方法对给出他们 的大致职称信息； 3）如果要进行工资调整，设计一个相对公正、合理的工资体系，并 用数据表中相关数据验证说明。 90 附数据表： 编号 Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 998 7 0 0 0 0 0 0 2 1015 14 1 1 0 0 0 0 3 1028 18 1 1 0 1 0 0 4 1250 19 1 1 0 0 0 0 5 1028 19 0 1 0 1 0 0 6 1028 19 0 0 0 0 0 0 7 1018 27 0 0 0 0 0 1 8 1072 30 0 0 0 0 0 0 9 1290 30 1 1 0 0 0 0 10 1204 30 0 1 0 0 0 0 11 1352 31 0 1 2 0 1 0 12 1204 31 0 0 0 1 0 0 91 13 1104 38 0 0 0 0 0 0 14 1118 41 1 1 0 0 0 0 15 1127 42 0 0 0 0 0 0 16 1259 42 1 1 0 1 0 0 17 1127 42 1 1 0 0 0 0 18 1127 42 0 0 0 1 0 0 19 1095 47 0 0 0 0 0 1 20 1113 52 0 0 0 0 0 1 21 1462 52 0 1 2 0 1 0 22 1182 54 1 1 0 0 0 0 23 1404 54 0 0 0 1 0 0 24 1182 54 0 0 0 0 0 0 25 1594 55 1 1 2 1 1 0 26 1459 66 0 0 0 1 0 0 92 27 1237 67 1 1 0 1 0 0 28 1237 67 0 1 0 1 0 0 29 1496 75 0 1 0 0 0 0 30 1424 78 1 1 0 1 0 0 31 1424 79 0 1 0 0 0 0 32 1347 91 1 1 0 1 0 0 33 1343 92 0 0 0 0 0 1 34 1310 94 0 0 0 1 0 0 35 1814 103 0 0 2 1 1 0 36 1534 103 0 0 0 0 0 0 37 1430 103 1 1 0 0 0 0 38 1439 111 1 1 0 1 0 0 39 1946 114 1 1 3 1 1 0 40 2216 114 1 1 4 1 1 0 93 41 1834 114 1 1 4 1 1 1 42 1416 117 0 0 0 0 0 1 43 2052 139 1 1 0 1 0 0 44 2087 140 0 0 2 1 1 1 45 2264 154 0 0 2 1 1 1 46 2201 158 1 1 4 0 1 1 47 2992 159 1 1 5 1 1 1 48 1695 162 0 1 0 0 0 0 49 1792 167 1 1 0 1 0 0 50 1690 173 0 0 0 0 0 1 51 1827 174 0 0 0 0 0 1 52 2604 175 1 1 2 1 1 0 53 1720 199 0 1 0 0 0 0 54 1720 209 0 0 0 0 0 0 94 55 2159 209 0 1 4 1 0 0 56 1852 210 0 1 0 0 0 0 57 2104 213 1 1 0 1 0 0 58 1852 220 0 0 0 0 0 1 59 1852 222 0 0 0 0 0 0 60 2210 222 1 1 0 0 0 0 61 2266 223 0 1 0 0 0 0 62 2027 223 1 1 0 0 0 0 63 1852 227 0 0 0 1 0 0 64 1852 232 0 0 0 0 0 1 65 1995 235 0 0 0 0 0 1 66 2616 245 1 1 3 1 1 0 67 2324 253 1 1 0 1 0 0 68 1852 257 0 1 0 0 0 1 95 69 2054 260 0 0 0 0 0 0 70 2617 284 1 1 3 1 1 0 71 1948 287 1 1 0 0 0 0 72 1720 290 0 1 0 0 0 1 73 2604 308 1 1 2 1 1 0 74 1852 309 1 1 0 1 0 1 75 1942 319 0 0 0 1 0 0 76 2027 325 1 1 0 0 0 0 77 1942 326 1 1 0 1 0 0 78 1720 329 1 1 0 1 0 0 79 2048 337 0 0 0 0 0 0 80 2334 346 1 1 2 1 1 1 81 1720 355 0 0 0 0 0 1 82 1942 357 1 1 0 0 0 0 96 83 2117 380 1 1 0 0 0 1 84 2742 387 1 1 2 1 1 1 85 2740 403 1 1 2 1 1 1 86 1942 406 1 1 0 1 0 0 87 2266 437 0 1 0 0 0 0 88 2436 453 0 1 0 0 0 0 89 2067 458 0 1 0 0 0 0 90 2000 464 1 1 2 1 1 0 33 题 企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子 系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。 对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有 重要的意义。 97 已知某工厂要生产 7 种产品，以 I，II，III，IV，V，VI，VII 来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出 大约利润如下。 产品 I II III IV V VI VII 大约 100 60 80 40 110 90 30 利润/ 元 该厂有 4 台磨床、2 台立钻、3 台水平钻、1 台镗床和 1 台刨床可以 用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下 表。 产 单位所需 品 台时 I II III IV V VI VII 磨床 0.5 0.7 — — 0.3 0.2 0.5 立钻 0.1 0.2 — 0.3 — 0.6 — 水平钻 0.2 — 0.8 — — — 0.6 设备 98 镗床 0.05 0.03 — 0.07 0.1 — 0.08 刨床 — — 0.01 — 0.05 — 0.05 从 1 月到 6 月，维修计划如下：1 月—1 台磨床，2 月—2 台水平钻， 3 月—1 台镗床，4 月—1 台立钻，5 月—1 台磨床和 1 台立钻，6 月 —1 台刨床和 1 台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。 又知从 1—6 月市场对上述 7 中产品最大需求量如下表所示。 I II III IV V VI VII 1月 500 1000 300 300 800 200 100 2月 600 500 200 0 400 300 150 3月 300 600 0 0 500 400 100 4月 200 300 400 500 200 0 100 5月 0 100 500 100 1000 300 0 6月 500 500 100 300 1100 500 60 每种产品当月销售不了的每件每月存储费为 5 元，但规定任何时 99 候每种产品的存储量均不能超过 100 件。1 月初无库存，要求 6 月末 各种产品各储存 50 件。 若该工厂每月工作 24 天，每天两班，每班 8 小时，要求 （1）该厂如何安排生产，使总利润最大； （2）若对设备维修只规定每台设备在 1—6 月份内均需安排 1 个 月用于维修（其中 4 台磨床只需安排 2 台在上半年维修）， 时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。 34 题：足球生产计划问题 某皮革公司生产足球，它必须确定每个月生产多少足球。该公司决定 以 6 个月为一个规划周期；根据市场调查，今后 6 个月的预计需求量 分别是 10,000、15,000、30,000、35,000、25,000 和 10,000.该公 司希望按时满足这些需求量。它目前的存货是 5,000，该公司可以用 该月的生产量来满足该月的需求量（公司有一整个月的时间来生产， 而需求则在月底发生）；在每个月中，该公司的最大产量是 30,000 个足球，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存 10,000 个足球。预测今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、 $12.55、$12.70、$12.80、$12.85 和$12.95；而每一个足球在每个 月中的持有成本是该月生产成本的 5%。（这个成本包含了库存的成 本和将货物搁置在仓库的成本。）而足球的销售金额和这次的生产决 100 策无关，因为不管销售的金额为何，该公司都打算尽可能满足顾客的 需求， 因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。 建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储 存成本最小化的生产计划。 如果储存成本率降低，生产计划会怎样 变化？储存成本率是多少时？储存容量达到极限。 35 独立学院的评价问题 独立学院强势崛起，成为中国高等教育的一面崭新旗帜。2011 年具 有招生资格的独立学院有 311 所，其中四川有 13 所。独立学院在快 速发展的同时也面临着一系列的问题。如人才培养目标问题、内部管 理体制问题、师资队伍建设问题、办学效益问题等等。因此，对独立 学院进行评价的研究，日渐成为推动独立学院改善教育管理、提高教 学质量、增进办学效益的重要课题。 针对独立学院的发展，请你选择部分独立学院（省内或者成都市内） 或者某个独立学院的部分专业进行综合评价，可以选择自己感兴趣的 某个方面进行评价。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要 组成部分。你们的论文必须分析有据、结论明确。 36 超市利润问题 101 假如你是某高校校内超市聘请的负责人，你理所当然的关心利润问题， 而摆在你面前的恰恰就有这样一个问题：对于某品牌洗发水你需要多 长时间送一次货，每次送多少瓶，才能保证利润最大化？以下信息可 供参考： 该品牌的洗发水周销量是 300 瓶，每瓶价格 45 元； 每次送货时，该超市付出的费用是 500 元，这不包含洗发水本身的费 用，与送货的数量也没有关系； 每次卸货需要花费大概 1 小时，需付出 100 元； 每次订货，可立即送达； 每瓶洗发水的库存成本为每星期 0.25 元； 37 题 组合投资的收益和风险问题 某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金， 市场上有 8 个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投 资选择。其中项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金 和利润）；项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利； 项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目 7 只 能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年 初投资，到第五年末回收本利。 一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表 1。 102 试根据实验数据确定 5 年内如何安排投资？使得第五年末所得利 润最大？ 二、公司财务分析人员收集了 8 个项目近 20 年的投资额与到期利 润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相 互影响等情况。 8 个项目独立投资的往年数据见表 2。同时对项目 3 和项目 4 投资 的往年数据；同时对项目 5 和项目 6 投资的往年数据；同时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的往年数据见表 3。(注：同时投资项目是指 某年年初投资时同时投资的项目) 试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互 影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 三、未来 5 年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中 投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于 当年对各项目的投资。 项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资。 各投资项目的投资上限见表 4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定 5 年内如何安排 20 亿的 投资？使得第五年末所得利润最大？ 四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资 103 金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险 来度量。 如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得 更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司应该如 何对 5 年的投资进行决策? 附： 表 1. 投资项目预计到期利润率及投资上限 1 2 3 4 5 6 7 8 0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55 项目 预计到 期利润 率（%） 上限 60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 （万元） 注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本 金的比值。 104 表 2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元） 项目 投 1 2 3 4 5 6 7 8 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 4993 -7955 5586 22591 8987 资 额 1990 到 479 126 1338 910 期 利 润 投 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 4830 1211 164 -1158 6386 9398 资 额 1991 到 2210 1539 5044 期 利 润 105 投 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 4501 2540 1233 -3608 -6112 36832 10355 资 额 1992 到 507 629 期 利 润 投 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 4092 787 1616 8081 4946 16834 -7266 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 5270 资 额 1993 到 602 836 期 利 润 投 1994 资 额 106 到 711 365 2765 1099 22300 8319 -19618 -2697 期 利 润 投 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 6335 756 -9028 22230 2733 6486 7821 4449 5586 5812 6577 6276 5848 846 1318 -59901 24709 资 额 1995 到 621 2549 1559 5130 期 利 润 投 资 额 1996 到 935 1078 1006 9358 期 利 润 107 投 6974 3393 4268 5414 5589 4472 6863 3570 1489 593 1955 1740 9207 4237 38552 14511 4116 4618 5474 6473 5073 6345 6866 3044 353 -2291 -39691 4570 资 额 1997 到 期 利 润 投 资 额 1998 到 749 2041 1548 7044 期 利 润 投 1999 7403 5033 6859 6707 5377 资 额 108 4783 5202 6355 到 1117 911 1392 1168 7488 1464 70314 19245 4237 4996 5603 5597 5231 4181 6830 5018 571 3077 1881 7209 5721 -21568 5075 3051 5707 4877 3844 7434 4222 5370 5960 449 3173 99069 14864 期 利 润 投 资 额 2000 到 964 期 利 润 投 资 额 2001 到 868 1138 1131 5196 期 利 润 109 投 7574 5052 5460 3681 7936 7745 6391 3861 1396 958 10740 -27334 -4626 资 额 2002 到 1372 1221 5849 期 利 润 投 3510 5870 5697 5701 3898 7216 5135 4218 364 10770 -24878 -5786 资 额 2003 到 1089 1456 1757 -629 期 利 润 投 2004 6879 7396 5516 5623 7471 资 额 110 5501 3174 4210 到 994 1558 2864 1461 7769 7151 8981 21833 3511 4780 6255 6925 6598 6043 4862 7988 638 1175 3230 2223 8020 7916 -46712 21357 3660 7741 4315 4379 7120 6131 3661 5393 538 6411 64239 -11538 期 利 润 投 资 额 2005 到 期 利 润 投 资 额 2006 到 1527 1155 1494 4616 期 利 润 111 投 4486 4756 3871 5529 5807 5576 3029 466 6178 11819 资 额 2007 到 862 1022 2046 5395 期 利 润 投 7280 7312 6471 7760 资 额 2008 到 1389 1319 2060 3227 期 利 润 投 2009 3082 5083 资 额 112 到 403 787 期 利 润 表 3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元） 同时投资项目 同时投资项目 同时投资项目 5、6、8 1、2 项目 投资额 1990 5、6 3 4 5 6 5 6 8 4307 5755 4352 3015 4352 3015 4993 1026 2686 1442 2634 6678 2542 -3145 5070 7929 7480 5463 7480 5463 4830 2188 3558 3009 2935 -3861 15120 13270 6665 7513 5978 4558 5978 4558 4501 到期利 润 投资额 1991 到期利 润 1992 投资额 113 到期利 3272 3222 443 14400 4794 1884 -3356 6333 6749 4034 7392 4034 7392 4092 2050 2778 344 4473 3002 1549 10820 5148 5384 6220 6068 6220 6068 5270 1513 2533 601 -6448 -852 -4651 -1593 5973 7294 6916 6276 6916 6276 6335 2733 3542 10300 9217 20610 5595 7283 4449 5586 5812 6577 5812 6577 5848 3005 2448 318 1087 4750 -179 14000 4268 5414 5589 4472 5589 4472 3570 润 投资额 1993 到期利 润 投资额 1994 到期利 润 投资额 1995 到期利 润 投资额 1996 到期利 润 1997 投资额 114 到期利 2015 2609 5168 -2930 3170 -235 14460 5474 6473 5073 6345 5073 6345 3044 1782 2969 -981 2413 7304 19090 7065 6859 6707 5377 4783 5377 4783 6355 3701 2636 6695 52 3795 2029 10510 5603 5597 5231 4181 5231 4181 5018 3581 1809 952 844 -2671 6334 12970 4877 3844 7434 4222 7434 4222 5960 1510 1724 -124 8984 -4299 3307 10170 5460 3681 7936 7745 7936 7745 3861 润 投资额 1998 到期利 润 投资额 1999 到期利 润 投资额 2000 到期利 润 投资额 2001 到期利 润 2002 投资额 115 到期利 3996 1450 7717 2803 8062 6753 10050 5697 5701 3898 7216 3898 7216 4218 3204 2488 7598 -4722 -968 14900 -2294 5516 5623 7471 5501 7471 5501 4210 1454 2199 7518 9321 6580 2131 10060 6255 6925 6598 6043 6598 6043 7988 3258 2646 8671 -6551 11460 -4521 -8039 4315 4379 7120 6131 7120 6131 5393 2661 1984 2029 20300 4379 1035 4456 3871 5529 5807 5576 5807 5576 3029 润 投资额 2003 到期利 润 投资额 2004 到期利 润 投资额 2005 到期利 润 投资额 2006 到期利 润 2007 投资额 116 到期利 1800 2443 6471 7760 3047 3682 7424 8639 12680 5112 2154 润 投资额 2008 到期利 润 投资额 2009 到期利 润 项目 1 表 4. 各投资项目的投资上限 2 3 4 5 6 7 8 上限 （万 60000 60000 35000 30000 30000 40000 30000 30000 元） 38 题 紧急撤离问题 117 最近世界各地接连发生强烈地震，造成人员重大伤亡，遇难者大 多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所 （如学校）伤亡尤其惨重。如果地震发生之时人们能在第一时间迅速 撤离建筑物，那么伤亡可能会小得多！因此，在灾难发生时，建筑物 内的人员是否迅速撤离时有关人身安全保障的大问题，对于一个特定 的建筑物，大家最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用的时间， 以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。 请根据自己的实际情况（如自己所居住的宿舍） ，绘制出示意图， 并收集有关的数据，完成下面的问题： 1.建立数学模型来分析这栋楼的人员有组织、有秩序地迅速疏散、 撤离所用的时间； 2.根据你建立的数学模型给出最佳撤离方案； 3.为方便紧急撤离，结合实际，就该楼的设计方案给出合理化的 建议。 39 题 失业工人如何选择满意工作 政府为解决失业工人的再就业问题，积极提供就业机会，同时 每月为每一位失业工人发放一定数量的失业救济金，作为他们基本的 生活保障。失业工人在寻找工作的时候，若接受找到的第一个工作， 则意味他放弃了继续寻找可能找到更好工作的机会。因此，失业工人 118 一般不会马上接受找到的第一个工作，他通常会在心里预先设定一个 最低工资水平，若找到的工作其工资低于这个预先设定的最低工资水 平，则放弃该工作，继续寻找下一个工作，直至找到高于或等于预先 设定的最低工资水平的工作为止。 请你建立适当的数学模型，给出最低工资水平的决定条件，失 业救济金和最低工资水平的关系，并对失业工人找到满意工作之前的 平均等待时间（单位：月）作出合理的估计。 40 题 汽车保险 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没 有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为 0，1，2，3 四 类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客 户属于 0 类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则 可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个 类别，否则为 0 类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引 起的，将退还其保险金的适当部分。 现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然 每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从 119 而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险 费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。 根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少 40%， 遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少 20% 到 40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表 1 和表 2。 保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表 1 和 2 的数 据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降 20%和 40%的情况下，公司 今后 5 年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费：775 元 类别 没有索赔时补贴 续保人数 新投保人数注销人数 总投保人数 比例（%） 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182 百万元，偿还退回：70 百万元，净收入：6112 百万元； 120 支出：149 百万元；索赔支出：6093 百万元，超支：130 百万元。 表2 本年度的索赔款 类别 索赔人数 平均医疗费 平均赔偿费 死亡司机人数 平均修理费（元） （元） （元） 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321 总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）； 总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费 6093（百万元）。 41 题 抑制房地产泡沫问题 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。 房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此 如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请 你就以下几个方面的问题进行讨论： 121 1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机 理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 42 题 工件的安装与排序问题 某设备由 24 个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的 24 个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上， 放在每个扇形区域的 4 个工件总重量与相邻区域的 4 个工件总重量之差 不允许超过一定值（如 4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求， 即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如 3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题 1．按重量排序算法； 问题 2．按重量和体积排序算法； 问题 3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值 范围，并输出排序结果。 122 请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计算： 序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 123 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5 16 348 104.5 16 356.5 103.5 17 347.5 104 17 356 103.5 18 348 104.5 18 352.5 104 19 333 97 19 342.5 98 20 330 97 20 344 96.5 21 332.5 99 21 339.5 98 22 331.5 98 22 341.5 96 23 331.5 96.5 23 341 96 24 332 94.5 24 345 97 43 题 自来水的定价 124 水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，也一个非常 敏感的社会问题。目前大部分自来水公司都在亏损运转，提高水价会影 响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家 和政府对水价调整是甚之又甚。下面是两篇关于 A 市水价调整听证会的 报道（附件１和附件２）（题目的附件略），请认真阅读，并参考附件 3 的经济统计数据，研究解决下列问题： （1）根据 A 市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价，尤其 是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。 （2）你能否给出更合理的水价方案？并给政府提出合理化建议。 （3）请你分析预测新的水价方案后的节水量是多少？ 44 题 篮球比赛问题 运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。篮球 竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运 动队竞赛成绩的客观标准。 某大学有 12 个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比 赛。首先进行分组赛，共分两组，每组 6 支代表队；小组赛结束后，每 组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。附表 1 和附表 2（附表略）分别 125 为第一组和第二组的比赛结果。请你根据这些数据，研究各个代表队的 下列问题： （1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。 （2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行 排序。 （3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。 （4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并 将这 12 支代表队的名次进行排序。 （5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞 技水平。 45 题 毕业生就业问题 2007 年毕业生人数再创新高：全国普通高校毕业生将达到 495 万， 比 2006 年增加 82 万；为了缓解大学生就业压力，政府及社会各方面集中推出各 种促进就业的活动，并将 2007 年作为高校毕业生就业工作的全面服务年。 (附件略) 请你根据附件给出的数据，运用数学建模方法回答以下问题： （1）影响毕业生就业的主要因素是什么，并对相关因素进行排序； 126 （2）评价不同专业的毕业生就业情况； （3）给出某一专业的毕业生的就业策略； （4）请你结合其他信息对毕业生就业与区域经济发展水平之间的关系作 出评价； （5）为在校生写一篇对毕业生就业具有实际指导意义的短文。 46 题关于火车站股道和列检的问题 我国第六次铁路大提速已经于 2007 年 4 月 18 日正式展开。第六次铁路 大提速在京哈、京沪、京广、京九、陇海、浙赣、兰新、广深、胶济等 干线展开，列车运行最高时速达 200 公里，其中京哈、京广、京沪、胶 济线部分区段时速将达到 250 公里。这次提速受到了大家的广泛关注， 也为人们的出行带来了更大的方便。随着列车速度的提高，如何保证列 车的安全运行也成了一个比较重大的问题。 徐州火车站（以下简称徐州站）作为一个非常重要的铁路枢纽，面临着 更多的工作。徐州站共有 5 个站台，10 个股道。下图是徐州站的站台和 股道（即列车所走的轨道）的分布图。 127 图 1 徐州火车站站台和股道分布示意图 列车提速后，徐州站的旅客列车的到发情况见附表一。其中，“到”表 示列车到达徐州站的时间，“发”表示列车离开徐州站的时间，“股道” 表示列车在站内所经过的股道，“停站时分”表示列车在徐州站停留的 时间（单位：分钟）。 利用上面的信息，我们对以下两个问题进行研究。一般来讲，火车站是 分白班和晚班进行工作的。为了简化问题，我们只对上午八点以后（包 含八点）和晚上七点以前到达徐州站的列车进行分析。 问题一、股道的合理安排 1、研究各股道繁忙程度。 2、除了股道 6（股道 6 主要是直通车通过，且该股道上的列车没有旅客 上下车、列检等需求）外，如果要使各股道的繁忙程度大致相同，而且 空闲时间尽量均衡，如何调整各车次停留的股道。注意，由于股道 6 与 站台没有直接相连，对于有旅客上下车的列车是不能停留在第 6 股道的。 问题二、旅客列车的列检问题 徐州站的客列检是一项十分重要的工作，对于保证列车的正常运行和旅 客安全等有着极其重要的作用。徐州站的客列检工作量大，对参加列检 的工作人员要求高。 128 为了保证客列检工作的正常进行，对客列检进行合理的分工，对保障列 检作业过程的安全和工作人员的积极性有一定的作用。 现对徐州站客列检工作简介如下： I、列车的简要分类 根据列检工作的要求，我们对列车作如下分类：始发车，就是以徐州站 为始发站的列车；终到车，就是以徐州站为终点站的车；其余的为通过 车。 II、需要列检的车满足的条件 根据客列检技术检查作业标准：终到车不需要列检；始发车一般在开出 徐州站前 15 分钟进行列检。 对于通过车，在站时间小于 6 分钟的不需要列检；在站时间为 6～20 分 钟的，列车在站期间，全部需要列检；在站时间大于 20 分钟的，列车进 站后 10 分钟和列车出站前 10 分钟进行列检。 在对列车进行列检时，必须在列车上悬挂号志（一般为旗子），来表示 列车正在进行列检。 III、列检工作人员的相关作业要求 ①一般来说，列检人员需要在列车进站前 3 分钟到达相应的股道等待列 车的到达；列检人员需要在列车完全离开车站后离开作业股道。 129 ②当某个列检作业队需要列检的下一列车 30 分钟后才会到达时，作业队 可以回到股道两端的休息室等待，此时，作业队对下一列车进行作业时 不需要胯股道。 ③列检工作按作业队进行，每列需要列检的列车由一个作业队负责，每 个作业队在对某一列车进行列检完成后，才能对另外的列车进行列检。 对于徐州站的列检工作，我们考虑安排 5 个作业队进行。 1、由于作业队在进行跨股道作业时，会有危险存在，故请你考虑，如何 给 5 个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数目尽量地少。 2、如何对 5 个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数目尽量地 少，且各个作业队的工作量（即列检的列车的数目）基本一致。 3、（1）在满足 2 中的条件的前提下，如何使得各个作业队的繁忙程度 基本相同（即不会出现某作业队在某时间段内没有进行任何工作，而其 他作业队进行了很多列车的列检工作）； （2）在满足 2 中的条件的前提下，如何给各个作业队安排出时间吃午饭， 且吃饭时间尽量与人们的正常吃午饭时间一致（如 11：00－13：00，当 然可以做适当的提前或延后）。要求各个作业队的吃饭时间不小于 30 分 钟。请给出各个作业队的具体吃饭时间。 如果你认为 5 个作业队不能在满足相关作业要求的前提下，完成相关列 车的列检，请给出充足的理由，并考虑安排更多的队进行列检工作，解 决上面的几个问题；或者考虑通过对个别列车（主要是普客）的进站时 130 间进行适当的延迟后（则出站时间需要作相应的延迟），5 个作业队是否 能完成相关列车的列检工作（可以认为对普客作出的进站时间延迟是由 列车的晚点引起的）。 特别约定（为了简化问题，该约定根据实际情况进行了适量的简化）： 1、始发车在出站前 30 分钟进入相应股道；终到车到站后，大概在股道 停留 20 分钟后，离开相应股道。 2、同一股道上不能同时有两列车停留。要求同一股道上停留的两列车之 间最小时间间隔为 10 分钟（即若安排某列车进入某股道，必须保证该股 道在列车进站前 10 分钟已经没有列车停留），当然时间间隔越大，越安 全。 3、若需要跨股道作业，跨股道需要的时间按以下方案处理： i、在某站台两侧的股道，如股道 2 和股道 3，在 2 站台的两侧，则作业 队列检完股道 2 上的列车后，可以直接转身去等待股道 3 上列车的到来。 可设从股道 2 到股道 3 需要 1 分钟。其他类似情况可作同样的处理。 ii、如果某股道上没有车（为了安全起见，要求在 5 分钟内该股道上不 会有列车到达，否则，则不能跨越该股道）可以直接跨越，设跨越一个 股道需要的时间为 1 分钟。 iii、若股道上有列车，且有号志（即在列检），列检人员可以从列车下 面过去，直接跨越股道，认为跨越 1 个股道需要的时间为 1 分钟。 131 iv、若中间股道上有列车（没有号志）不可以跨越股道，则作业队必须 先到站台两端再到达相应股道。可以设若两股道数之差小于 3 时，则需 要 6 分钟到达相应的位置。若两股道数之间的差大于或等于 3，则需要 8 分钟到达相应位置。 47 题 防洪物资调运问题 我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年在长江、 淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带 来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。某地区为做好今 年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪 抗涝物资的储备。 已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备 库两个，各库库存及需求情况见附件 1，其分布情况见附件 2。经核算该 物资的运输成本为高等级公路 2 元/公里•百件，普通公路 1.2 元/公里• 百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路 运输互相调运。(附件略) （1）请根据附件 2 提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。 132 （2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证 国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。 （3）根据你的调运方案，20 天后各库的库存量是多少？ （4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急 调运的问题，如果不能，请修改你的模型。 48 题私家车保有量增长及调控问题 我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据中国汽车工 业协会估算，截止到 2006 年底，中国私人汽车保有量约为 2650 万辆， 占全国汽车保有量的 60%左右。在 2006 年，我国汽车销量为 710 多万辆， 私人购买比例超过 77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。 据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正 比。2003 年，我国国内人均 GDP 首次突破 1000 美元，这预示着中国汽车 开始进入家庭消费阶段。而事实表明，随着中国人均 GDP 的稳健增长， 近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。汽车特别是用 于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路 建设等有着密切的联系。随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上 升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。消费者购买力的增强 133 和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。私人汽车保 有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。附表 提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。 然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着 新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因 素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了 严格的要求。我国于上世纪 1999 年对生产的小汽车废气 CO、HC、NOX 和 PM 允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准)。规定生产的汽车从 2000 年 1 月 1 日起实施国Ⅰ排放标准，从 2005 年 1 月 1 日起实施国Ⅱ排 放标准，从 2007 年 7 月 1 日起实施国Ⅲ排放标准，从 2010 年 1 月 1 日 起实施国Ⅳ和国Ⅴ排放标准(实现基本与欧洲标准同步)。 据有关资料 介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染 物比公共汽车高 9 倍。如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引 导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面 效应也将成为社会发展的阻碍因素。 请研究下述问题： 问题 1、根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车 保有量的因素，并预测到 2010 年该地区私人汽车保有量有多少？ 问题 2、自 2007 年以来，CPI 指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制 投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府 决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提 134 年份 全社会固 人 均 国全内 社会消费 运 营 公 公交 交营 城运 市交 公交车营 通 居民人 居均 民储 汽蓄 油 私人汽车 (93 定资产投 道路总长 生 产 总品值 零 售 总 额 车 辆总数(亿人 数 干线噪 运总里程 音 可支配 款余额(亿 收 号)年 保均有 量 资总额(亿 (公里) (元) (亿元) （辆）次) 均值(分贝) (万公里) 入（元） 元) 价(元/升) (万辆) 元) 1996 27000 297.35 327.532658 6.31 68.3 15948737 16316 583.891.96 3.1 1997 30619 325.00 390.512763 6.94 69.6 17130789 18600 707.672.28 3.6 1998 33282 423.00 474.632801 5.73 69.7 17866894 19886 861.882.32 4.2 1999 33689 467.57 569.552887 7.76 69.8 189611015 20249 941.992.38 4.8 2000 41020 538.17 616.252920 8.23 69.7 196881198 21626 1082.62.73 6.7 高人民币存款准备金等等. 据统计, 2007 年政府 5 次升息， 9 次上调存款准备 金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？ 问题 3、 假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。 按照汽车废气国 III 排放标准（欧 III）（要求 CO 排放量每公里不超过 2.3 克，HC+NOX 排放量每公里不超过 0.56 克，PM 排放量每公里不超过 0.05 克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私 人汽车保有量？ 1996-2008 年某地区相关的统计数据 135 2001 43344 832.04 686.373495 8.87 68.3 244651361 23544 1373.42.89 9.1 2002 46030 941.94 788.153495 9.57 68.2 248141710 24941 1756.52.82 13 2003 53887 1095.13 969.1 4885 9.65 68.7 361492100 25936 2199.53.08 18.9 2004 59271 1250.64 1092.65376 10.11 69.2 430082314 26596 2625.43.56 29 2005 64507 1437.67 1176.16091 15.05 69.2 519462500 28494 3229.43.98 51.1 2006 70597 1671.29 1273.77305 16.81 69.2 657452614 29628 3744.74.98 78.2 07.1 季20505 528.67 342.257867 5.24 69.3 177002693 7309 874.5 4.90 93.4 07.2 季19619 487.75 336.987962 4.54 69.2 167202769 7412 908.7 5.01 100.6 07.3 季19874 479.79 333.528074 4.32 69.1 170942832 7731 968.2 5.13 107.1 07.4 季19223 408.82 332.258188 4.5 68.6 188322897 7611 1041.25.34 113 08.1 季19703 551.97 231.798328 5.13 67.9 174722964 7726 987.915.21 128 136 49 题 大型煤炭企业生产和供给问题 供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求开始经过 原材料供应、生产批发零售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制 造和商业活动。 煤炭供应链中物流从上游向下游流动, 资金流从下游向上游流动, 而信 息流的流动则是双向的。以上游供应企业作为大型煤炭企业原料供应商, 以煤炭企业作为原煤及精煤生产商, 再通过运输环节到达用户, 形成以 物流为主线, 包括信息流及资金流的输入输出关系的煤炭供应链框架, 如图 1 所示。图中包含原煤开配采、煤炭洗选加工、煤炭销售等节点并 用实线框起来，为大型煤炭企业供给系统内部供应链。大型煤炭企业的 原煤开采、煤炭洗选加工和客户均为多点。 某煤炭企业下属 7 个矿井，其中 5 个矿井建有洗煤厂,各洗煤厂只接受本 矿井的原煤洗选加工。其中宅城和韩桥矿井没有洗煤厂，只销售原煤； 夹河、庞庄、三河尖矿井洗煤厂洗出产品为冶炼精煤和混煤，销售原煤、 冶炼精煤和混煤；权台、旗山矿井洗煤厂洗出产品为其他类炼焦精煤和 混煤，销售原煤、冶炼精煤和混煤。 各矿井生产能力、成本,洗选能力、成本如表 1。 表 1 煤炭企业各矿井生产情况表 矿井序号矿井名称 原煤能力（吨） 原煤成本（元/吨） 洗煤能力（吨） 洗煤成本（元/吨） 137 1 宅城 85000 304 0 -- 2 韩 桥 65000 308 0 -- 3 夹河 110000 345 96000 25 4 庞庄 225000 310 110000 22 5 三河尖 56000 298 30000 38 6 权台 166000 289 50000 17 7 旗山 148000 293 90000 18 855000 -- 376000 -- 合计 计划期内，该煤炭企业有 5 个主要客户，需求情况见表 2,其中单位运输 费，是指单位重量的商品煤从煤炭企业运往客户的运输费用，由煤炭企 业支出。 表 2 煤炭企业客户需求情况 138 原煤 冶炼精煤 其他精煤 混煤 单位运输费 序号 需求量价格 需求量价格 需求量价格 需求量价格 (元/吨) 1 200000450 0 -- 0 -- 80000 520 35 2 0 -- 80000 650 0 -- 60000 540 25 3 0 -- 60000 670 60000 700 0 -- 30 4 100000480 0 -- 40000 730 0 -- 40 5 80000 480 0 -- 0 40000 570 35 合计 380000 140000 100000 -- 180000 附录给出该煤矿企业各个矿井 2005-2006 年分月入洗原煤，洗出精煤以 及洗损情况。请根据所给数据及查阅相关资料解决以下问题： 1、确定哪些因素影响洗煤厂洗出精煤数量，并建立各洗煤厂的精煤产量 模型。 2、煤炭企业按照“以销定产”的原则，根据年初的销售计划来安排一年 的生产。由于受生产能力等限制，可以部分满足客户需求。如果煤炭企 业只追求企业整体利润最大目标,请据此建立企业生产和供给的一般模 型，并用模型对所给煤炭企业进行生产和供给决策。 139 3、煤炭企业除了追求整理利润外，还应该考虑客户满意度因素，特别是 要尽量提高一些长期重要客户的满意度，以保证企业的可持续发展。影 响煤炭企业客户满意度的因素主要有商品煤数量订单满足率、企业供给 客户的商品煤质量等。请建立同时考虑利润和客户满意度的煤炭企业生 产和供给的一般模型，并用模型对所给煤炭企业进行生产和供给决策。 说明：在煤炭企业 5 个客户中，客户 1 为企业长期合作的电力客户，煤 炭企业应该首先满足其需求；客户 2、客户 3 为煤炭企业较重要客户；客 户 4、客户 5 为一般客户。 为保证客户满意度，可用外购煤保证订单满足率，外购煤价格：原煤 440 元/吨，冶炼精煤 630 元/吨，其他精煤 680 元/吨，混煤 510 元/吨，外 购煤到客户 1-5 运输费分别为：40 元/吨，45 元/吨，50 元/吨，30 元/ 吨，45 元/吨。 4、当前作为供应链外部生存环境的市场需求对时间的敏感性越来越强。 在这样的背景下，以响应时间为约束条件的产品供应链决策问题是一个 较新的研究领域。由于客户需求的快速多变和对时间敏感性的增强，必 将要求供应链提供更快的响应能力和更高的内部协同运作能力，请你尝 试建立时间约束下的煤炭企业生产与供给模型，并利用所给信息和收集 的数据，甚至通过自己合理假设数据，来验证模型的合理 140 50 题 关于保姆的招聘计划 一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计下一年 的需求是：春季 6000 人日，夏季 7500 人日，秋季 5500 人日，冬季 9000 人日。公司新招聘的保姆必须经过 5 天的培训才能上岗，每个保姆每 季度工作（新保姆包括培训）65 天。保姆从该公司而不是从雇主那 里得到报酬，每人每月工资 800 元。春季开始时公司拥有 120 名保姆， 在每个季度结束后，将有 15%的保姆自动离职。如果公司不允许解雇 保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影 响招聘计划？可以增加多少？ 51 列车售餐问题 长途列车由于时间漫长需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是 主要的服务。由于火车上各方面的成本高因此车上食物的价格也略 高。以 T238 次哈尔滨到广州的列车为例每天早餐为一碗粥、一个 鸡蛋及些许咸菜价格 10 元中午及晚上为盒饭价格一律 15 元。 由于价格偏贵乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方 便面及面包等食品但价格也偏贵。如一般售价 3 元的方便面卖 5 元。 当然由于列车容量有限因此提供的用餐量及食品是有限的适当 提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制不能高得过头。假 如车上有乘客 1000 人其中 500 人有在车上买饭的要求但车上盒 141 饭每餐只能供给 200 人另外车上还可提供每餐 100 人的方便面。 请你根据实际情况设计一个价格方案使列车在用餐销售上效益最 大。 52 居民区供水问题 某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高 12.2 米,直径 17.4 米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵 工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设 计,当水塔的水位降至最低水位,约 8.2 米,水泵自动启动加水;当水 位升高到一个最高水位, 约 10.8 米,水泵停止工作. 可以考虑采用用 水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量 水塔里的水位来估算用水率,表 1 是某一天的测量记录数据,测量了 28 个时刻,但是由于其中有 3 个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无 水位记录(表 1 中用//表示). 试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和 水泵工作功率. 表 1 原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米)) 142 时刻 t 水位 时刻 t 时刻 t 水位 时刻 t 水位 水位 0 9.677 7.006 8.525 12.954 10.21 19.959 8.433 0.921 9.479 7.928 8.388 13.875 9.936 20.839 8.22 1.843 9.308 8.967 8.22 14.982 9.653 22.015 // 2.949 9.125 9.9811 // 15.903 9.409 22.958 10.82 3.871 8.982 10.925 // 16.826 9.18 23.88 10.597 4.978 8.814 10.954 10.82 17.931 8.921 24.986 10.354 5.9 8.686 12.032 10.5 19.037 8.662 25.908 10.18 53 人民币的汇率问题 人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点有不少经济 学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望 提高人民币对一些主要货币的汇率另一些学者则希望稳定人民币 的汇率。试建立数学模型解决下列问题 1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响 2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系 3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。 54 优秀论文评选 143 在某数学建模比赛的评审过程中组委会需要在一道题目的 150 篇 参赛论文中选择 4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由 10 名评委组 成包括一名小组组长(出题人)4 名专业评委(专门从事与题目相 关问题研究的评委)5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织 工作参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如 下 step1:首先由普通评委阅读所有 150 篇论文筛选出 20 篇作为候选 论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文每人选择 4 篇 作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由大家进行讨论每个评委对论文的认识都会受到其 他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后大家对这些推荐的论文进行投票每个评委可 以投出 4 票获得至少 6 票的论文可以直接入选如果入选的论文不 足对剩余的论文(从 20 篇候选论文中除去已经入选的论文)重复 step2 至 step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍 然不够则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过 4 篇的论文获得了至少 6 票则由评选小组组长确定最终 144 的名额归属。问题: 1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。 2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的 概率分别为 0.30.40.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定 的权重应该如何设置才最合理用数学模型支持你的观点。 55 题 送货问题 某地区有 8 个公司(如图一编号①至⑧)某天某货运公司要派车将各 公司所需的三种原材料 A,B,C 从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。 路线是唯一的双向道路(如图)。货运公司现有一种载重 6 吨的运输 车派车有固定成本 20 元/辆从港口出车有固定成本为 10 元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用 15 分钟的时 间装车到每个公司卸车时间平均为 10 分钟运输车平均速度为 60 公里小时(不考虑塞车现象)每日工作不超过 8 小时。运输车载重 运费 1.8 元/吨公里运输车空载费用 0.4 元/公里。一个单位的原材 料 A,B,C 分别毛重 4 吨、3 吨、1 吨原材料不能拆分为了安全 大小件同车时必须小件在上大件在下。卸货时必须先卸小件而且 不允许卸下来的材料再装上车另外必须要满足各公司当天的需求 量(见表)。 问题 145 1、货运公司派出运输车 6 辆每辆车从港口出发(不定方向)后运输 途中不允许掉头应如何调度(每辆车的运载方案运输成本)使得运 费最小。 2、每辆车在运输途中可随时掉头若要使得成本最小货运公司怎 么安排车辆数应如何调度 3、(1)如果有载重量为 4 吨、6 吨、8 吨三种运输车载重运费都是 1.8 元/吨公里空载费用分别为 0.20.40.7 元/公里其他费用 一样又如何安排车辆数和调度方案(2)当各个公司间都有或者部 分有道路直接相通时分析运输调度的难度所在给出你的解 决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。 146 56 宠物狗销售 背景一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费 10 元钱因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究在给 定的天数 x 内所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ =0.1)。 宠物店每十天平均能卖出一只小狗而每卖出一只小狗的利润是 20 元。当一个顾客来到宠物店里时如果店里没有宠物卖那么该顾客 147 就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需 要到 6 天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好 策略。 策略 A每卖出一只小狗宠物店就新预定一只。这个策略意味着每 次店里只有一个小狗因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。 策略 B宠物店每隔 10 天就预定一只新的小狗该狗 6 天后到。使 用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店则宠物店必 须花大量的钱在小狗上。 问题 1、编写程序,来模拟这两种策略并比较哪一种策略好。 2、请提出第三种更好的策略写出数学证明,并用软件模拟。 57 导弹攻击 148 某军一导弹基地发现正北方向 120 千米处海上有一艘敌艇以 90 千米/ 小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导 弹速度为 450 千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌 艇。 试问导弹在何时何地击中敌艇? 如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以 135 千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中 敌艇? 敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示? 58 题 错峰上下课时间安排问题 浙江工业大学屏峰校区占地两千余亩，拥有一期教室、二期教室 8 栋，集中了学校的大部分学生。但是校区仅拥有两个食堂，而大部 分学生上午 3、4 节都有课，显得午餐就餐压力很大。容大集团已经 开设了西看台、语林楼等午餐供应点，但尚不能满足学生就餐需求。 如果校区能够实行错峰上下课安排，也许能够在一定程度上缓和 就餐高峰带给后勤的压力。请各参赛队完成以下任务： 请设计合理的错峰上下课时间，使得能够有效缓解就餐压力。分 析错峰上下课时间对缓解就餐压力带来的影响，错峰上下课时间与增 149 加临时就餐点两种方案，哪种更加有效。 59 题 物流优化设计问题 物流作为“第三利润源泉”在国民经济中的地位和作用越来越重 要,它对于发展经济、加强军事力量、改善人们物质和文化生活以及 扩大国际技术、经济文化的交流等都具有重要意义。 在一个物流配送系统中有两个产品供应商 A1和 A2 供应产品，其供 应量(产量)分别为 84 和 116；同时有两个经销商 B1和 B2 ， 其需求量(销 量)分别为 96 和 104。该物流配送网络模型中供应商和经销商之间设 有两个物流配送中心 O1 和 O2 ，并且 O1 和 O2 的容量均为 40，其扩张的 费用均为 0.35，配送中心 O1 容量进行扩充的时间限制为 60，扩充一 单位容量所需的时间为 2， 配送中心 O2 容量进行扩充的时间限制为 45， 扩充一单位容量所需的时间为 3。 A1- >B1 A1- >B2 A1- >O1 A1- >O2 A2 - >B1 A2 - >B2 运输费用 3.7 5 1.5 1.3 3.1 3.5 容量限制 40 30 30 30 40 30 容量扩充时间限制 60 40 40 40 60 40 150 单位扩充时间 3 2 2 2 3 2 单位扩充费用 0.4 0.3 0.3 0.3 0.4 0.3 A2 - >O1 A2 - >O2 O1- >B1 O1- >B2 O2 - >B1 O2 - >B2 运输费用 1 1 1.5 1.7 1.9 1.6 容量限制 30 30 40 30 40 30 容量扩充时间限制 40 40 60 40 60 40 单位扩充时间 2 2 3 2 3 2 单位扩充费用 0.3 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 当物资运输的实际情况如上面所描述，请建立模型使得建立的运 输路径和配送中心带容量限制及容量可扩充的物流配送网络模型就 可以得到运输成本最低的最优运输策略。 60 题 草原鼠患问题 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的 破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严 重，并由此引发了严重的生态问题。 151 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞 内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草 25—40 公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对 草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损 失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵 横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠 的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草 的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可 以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原 因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科 学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包 袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就 不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以 作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药 现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老 鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何 级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定 的时间和大量资金的投入。 152 (2) 引入老鼠的天敌 通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、 狐 狸、狼等， 将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它 们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一 是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引 入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新 的生态问题。 (3) 人工种植牧草 鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要 有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦， 便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在 这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会 激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会 在一定时间内自行退化。 问题 1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分 析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； 问题 2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行 的建议； 问题 3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等） 搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。 61 题 牧羊人的希望 一个牧羊人拥有 x 平方米的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划， 希望能获得满意的收益。他需要考虑以下问题： 153 (a) 他应该饲养多少羊？ (b) 夏季应存储多少干草用着冬季饲料？ (c) 为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？ 你能建立一个数学模型来帮助他解决以上问题吗？你可以利用 下面的资料。 下面是低洼地的某一类草（多年生黑麦草）的近似平均生长率： 冬季 春季 夏季 秋季 0 3 7 4 日生长率 （克） 一般母羊的生育期是 5～8 年，每年产一头、两头或三头。如果 每只母羊仅喂养 5 年就出售，下面一只母羊在每个年龄段生产的平均 羊羔数： 年龄（年） 0～1 1～2 2～3 3～4 4～5 生产的羊羔 0 1.8 2.4 2.0 1.8 （头） 在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为： 154 日需草量（公斤） 羔羊 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35 62 题 高层办公楼电梯问题 商用写字楼在早上 8 点 35 分到 9 点 15 分这段时间里，上班的人 陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常碰到再５分钟就迟到 但电梯等了好长时间还没来的情况，候梯的人焦急万分。所以，公司 强烈要求电梯设计一个合理有效的调度运行方案。 第一问：假如现有 6 部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得 在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到达，减少候梯 时间。 155 各层楼的人数(不包括第一层楼)见表 1 (1) 数据 表l 楼层 楼层 楼层 各楼层人数（个）一览表 人数 楼层 人数 楼层 人数 9 236 17 200 25 205 10 139 18 200 26 205 11 272 19 200 27 140 12 272 20 200 28 136 13 272 2l 207 29 132 14 270 22 207 30 132 15 300 23 207 16 264 24 207 — 208 1 2 177 3 4 222 5 6 130 7 8 181 191 156 236 (2)第一层的高度为 7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均 为 3．9l m； (3)电梯的最大速度是 304.8／min， 电梯的速度由 0 线性增加到全速，其加速度为 1.22m／s2； (4)电梯的容量为 19 人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为 0.8s 和 0.5s，开关电梯门 的平均时间为 3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面 3 部 分时间总和的 10％； (5)底楼最大允许等侯时间最好不超过 1 分钟； 第二问： 如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外， 还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少， 一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快 速，中速，慢速三种，你能不能给管理者写一个方案，提出一些合理 的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别 是 243.8，304.8，365.8m／min）。 157 63 题 糖果配比销售 某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的 杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品 牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示： 品牌 含量需求 售价/ 美元/kg 腰果仁不超过 20% 胡桃仁不低于 40% 普通 0.89 核桃仁不超过 25% 杏仁没有限制 腰果仁不超过 35% 豪华 杏仁不低于 40% 核桃仁、胡桃仁没有限制 158 1.10 腰果仁含量位于 30%~50%之 间 蓝带 1.80 杏仁不低于 30% 核桃仁、胡桃仁没有限制 每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表： 售价/ 1） 美元/kg 每周最大供应量/ kg 杏仁 0.45 2000 核桃仁 0.55 4000 腰果仁 0.70 5000 胡桃仁 0.50 3000 商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量， 使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混 合的问题。 159 2） 若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让 果仁供应量增加 10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞 周利润会改变多少？请分情况说明。 64 题 产销问题 某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上 半年 6 个月的产品需求预测如表 1 所示。 表 1. 产品需求预测估计值（件） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 预计需 1000 1100 1150 1300 1400 1300 求量 1 月初工人数为 10 人，工人每月工作 21 天，每天工作 8 小时， 按规定，工人每个月加班时间不得超过 10 个小时。1 月初的库存量 为 200 台。产品的销售价格为 240 元/件。该产品的销售特点是，如 果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内 得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表 160 示。6 月末的库存为 0（不允许缺货）。各种成本费用如表 2 所示。 表 2. 产品各项成本费用 原材料成 库存成本 缺货损失 外包成本 培训费用 100 元/件 10 元/件/月 20 元/件/月 200 元/件 50 元/人 解聘费用 产品加工时 工人正常工 工人加班工 间 资 资 本 100 元/人 1.6 小时/件 12 元/小时/ 18 元/小时/ 人 人 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本 最低、利润最大的最优产销方案； （2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销， 当产品价格下降为 220 元/件时，则接下来的两个月中 6%的需求会提 前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两 种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产 销规划方案。 161 65 题 航空公司的机舱设计及机票销售 在五个城市 A、B、C、D、E 之间，有唯一一家航空公司提供四个 航班服务，这四个航班的“出发地—目的地”分别为 AC、BC、CD、 CE，可搭载旅客的最大数量分别为 100 人、115 人、120 人、110 人， 机票的价格分头等舱和经济舱两类。经过市场调查，公司销售部得到 了每天旅客的相关信息，见下表。该公司应该在每条航线上分别分配 多少张头等舱和经济舱的机票？ 出发地—目的 头等舱需 头等舱价 经济舱需 经济舱价格/ 地 求/人 格/人 求/人 人 AC 31 190 52 90 AD(经 C 转机) 22 244 41 193 AE(经 C 转机) 10 261 60 199 BC 25 170 33 110 BD(经 C 转机) 20 260 31 150 BE(经 C 转机) 8 280 41 165 CD 34 140 59 80 CE 13 186 15 103 162 66 题 胃癌的鉴别 胃癌患者易误诊为萎缩性胃炎患者以及非胃病患者。进行胃癌的 鉴别主要是通过化验 4 项生化指标：血清铜蓝蛋白（X1）、蓝色反应 （X2） 、尿吲哚乙酸（X3）、中性硫化物（X4）。本来从胃癌患者、萎缩 性胃炎患者以及非胃病患者中一共抽取了 12 人进行指标化验，但是 由于医护人员的疏忽，将化验结果搞混了。现有以前对胃癌患者、萎 缩性胃炎患者以及非胃病患者化验的结果各一例，依次为 （ 228,134,0.20,0.11 ） 、 （ 150,117,0.07,0.06 ） 、 （135,108,0.02,0.12），混淆的化验结果见附件 医学上一般根据临床的经验认为，患同一种病的人所表 现出来的特征往往是相似的。 1.试 建 立 一 种 判 别 准 则 ， 把 上 述 混 淆 的 结 果 区 分 开 来 。 2. 再 给 你 三 个 病 人 的 化 验 指 标 如 下 ： （ 210,142,0.10,0.08 ） 、 （ 180,120,0.08,0.21 ） 、 （ 150,130,0.05,0.14）， 试 区 分 他 们 各 属 于 哪 一 类 人 群 。 3.如 果 我 们 尽 量 不 想 让 胃 癌 诊 断 为 萎 缩 性 胃 炎 或 无 胃 病 ， 也 不 想 让 萎 缩 性 胃 炎 诊 断 为 无 胃 病 ，是 否 应 对 我 们 所 建 立 的 准则作出调整？试给出调整方案。 163 NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1 245 200 170 100 255 130 120 160 185 170 165 100 X2 134 167 150 167 125 100 133 100 115 125 142 117 X3 0.1 0.1 0.0 0.2 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2 7 7 6 5 5 6 5 7 X4 0.4 0.2 0.0 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 7 8 67 题 4 4 2 6 9 4 3 2 水库的杂鱼彻底清理的最佳方案 一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有 良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。 水库现有水位平均为 15 米，自然放水每天水位降低 0.5 米，经与当 地协商，水库水位最低降至 5 米，这样预计需要二十天时间，水位可 达到目标。 据估计水库内尚有草鱼 25000 余公斤，鲜活草鱼在当地 市场上，若日供应量在 500 公斤以下，其价格为 30 元/公斤；日供应 量在 500—1000 公斤，其价格降至 25 元/公斤，日供应量超过 1000 164 公斤时，价格降至 20 元/公斤以下，日供应量到 1500 公斤，已处于 饱和， 捕捞草鱼的成本水位于 15 米时，每公斤 6 元；当水位降至 5 米时，为 3 元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失 增加，至最低水位 5 米时损失率为 10%。 承包人提出了这样一个问 题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？请你建立相关模型求解， 给出最佳答案。 68 题 资源配置问题 北方寒冷地区某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资。每年 冬季（9 月中旬至来年 5 月中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的 劳动时间，而夏季为 4000h（5 月中旬至来年 9 月中旬） 。如果这些劳 动时间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。 现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦，生长周期假设 为一年）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。农作物不需要付出投资，但 每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始投资。每 头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏 季需要付出 50h 劳动时间，该家庭每年产出的净现金收入为 450 元； 每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬季 0.6h，夏季 0.3h，年净 现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏的大小 限制了最多能饲养 32 头奶牛。 165 根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如下 表所示。建立数学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及 奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。 表 种植一亩农作物所需要的劳动时间和收入 农作 冬季劳动 夏季劳动 年净现金收 物 时间/h 时间/h 入/（元/亩） 大豆 20 30 175.0 玉米 35 75 300.0 燕麦 10 40 120.0 69 题 建筑下料问题 某建筑公司承建一住宅大楼，该大楼共 30 层，每层 6 种户型 （A、B 户型朝向不同，但大小、规格相同，C、D 和 E、F 同此解释）， 每种户型窗户的规格（尺寸）、数量如表 1： 表 1：户型窗户的规格（尺寸）表 户 窗户 I 窗户 II 166 窗户 III 型 长*宽 长*宽 数量 （毫米*毫 长*宽 数量 （毫米*毫 （个） 米） 数量 （毫米*毫 （个） 米） （个） 米） A、B 600*800 12 1200*750 8 1500*850 10 C、D 600*700 10 1100*750 8 1200*800 9 E、F 600*800 10 1200*650 8 1200*750 8 同时，市场上可买到的玻璃材料的规格（尺寸）如表 2： 表 2：玻璃材料的规格（尺寸）表 长*宽 价格 （毫米*毫米） （元） 1 2100*2500 110 2 2900*2400 130 型号 求解以下问题： 1、 求建筑公司的最小玻璃材料购买量； 2、 在不考虑下料（裁剪）损耗的情况下，求窗户的下料（裁 剪）方法，使其浪费最小； 167 3、 在下料（裁剪）损耗为 3％的情况下，同时不考虑将裁坏 的大规格窗户改裁剪为小规格窗户利用，求窗户的下料（裁剪） 方法，使其浪费最小； 4、 在下料（裁剪）损耗仍为 3％的情况下，但裁坏的大规格 窗户可改裁剪为小规格窗户利用（假设可利用率为 70％），求 窗户的下料（裁剪）方法，使其浪费最小。 70 题 水厂供水方案 某城市拟建A、B两个水厂。从建造和经营两方面考虑，水厂分小、 中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。由于 水资源的原因，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。A、B两个 水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有 的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用 水的成本为1.05元/吨公里。 表1 各居民区的位置和拥有的家庭户数 居民点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 位 xi 0 置 5 168 yi 4 5 4 4 1 11 8 15 8 2 家庭户数（万户） 10 22 (1)若已知A、B两个水厂的位置分别为A=A(1，4)和B=B(4，2)， 试确定供水方案使总成本最低； (2)若A、B两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供 水方案使总成本最低； (3)如果该某城市要在平直河岸L(设L位 于横坐标轴)上建一抽水站P，供应同岸的A、 B两个水厂。考虑到输水管道沿线地质情况 等原因，假设在修建OA、 OB、 OP三段管道（如 图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水 量决定，参见表2。水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为 0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加 价20％。试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA、OB、OP三段 管道投资费用的最优方案。 表2 管道修建费用 日供水量（万吨） 30 169 40 50 80 每公里耗资（万 50 65 75 90 元） 71 题 航空公司预定票策略 某航空公司，航班座位可通过电话或互联网预定，这种预定具有 很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。航空公司为了 争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定 遭受的损失。为此，航空公司采用一些措施。首先，要求客户提供信 用卡号，预付一定的定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定 金将如数退还，否则定金将被没收。其次，航空公司采用变动价格， 根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。 （1）试建立座位预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表 1给出了某航空公司8周次等舱价格(单位: 美元)，用你的模型说明价 格变动的规律，并据此估计第9周和第10周次等舱的参考价格。 表1 某航空公司8周次等舱价格(单位: 美元) 29.00 29.00 29.00 69.00 79.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 69.00 99.00 35.00 35.00 35.00 35.00 35.00 89.00 99.00 39.00 39.00 170 39.00 39.00 39.00 329.00 329.00 329.00 79.00 79.00 79.00 79.00 119.00 119.00 119.00 39.00 39.00 39.00 39.00 99.00 99.00 89.00 89.00 89.00 89.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 59.00 59.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 （2）在旅游旺季，预定座位数往往可以出超过实际座位数, 以 减低客户取消预定时航空公司的损失。当然这样做可能会带来新的风 险, 因为万一届时有超出座位数的客户出现, 航空公司要通过升级座 位档次或赔款来解决纠纷, 为此航空公司还会承担信誉风险. 某航空 公司某航班有头等舱座位20个，中等舱座位100个，次等舱座位500个。 试为该航空公司制定合理的预定策略, 并论证你的理由。 72 题 酒后驾车 据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其 中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 171 国家标准， 新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克／百毫升为 醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百毫升）。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标 准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊 恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒 精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上 述标准，在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒 的司机如何驾车提出忠告。 172 参考数据 1. 人的体液占人的体重的 65%至 70%，其中血液只占体重的 7%左右； 而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后，隔一定时间测量 他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： 时间 (小时) 0.2 5 0. 5 0.7 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 酒精 含量 30 68 75 8 2 82 7 7 68 6 8 58 5 1 50 4 1 时间 (小时) 6 7 8 9 10 1 1 12 1 3 14 1 5 16 酒精 含量 38 35 28 2 5 18 1 5 12 1 0 7 7 4 73 题 洁具流水时间设计 我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界 平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少， 不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、 电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目 前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的 同类产品要高出 60%以上。 173 某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时 间内流水量为常数 v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时 间的设计方案供采用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放 水，持续时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒， 则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持 续时间为 10 秒。 方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放 水，持续时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒， 则只放水一次，否则，为保持清洁，到 2T 时刻再开始第二次放水， 持续时间也为 T。但若使用时间超过 2T-5 秒，则到 4T 时刻再开始第 三次放水，持续时间也是 T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能 延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过 2 次。 该厂家随机调查了 100 人次男性从开始使用到离开洁具为止的 时间(单位：秒)见下表： 时间 12 13 14 15 16 1 5 12 60 13 （秒） 人次 174 （1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的 角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数 T（秒）的最优值， 使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； （2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的 设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。 74 题 护士工作时间调度 某医院一个工作日（分为 12 个两小时长的时段）每个时段需要护士 人数如下表： 每个时段的人员需求表 编号 时段 需要护士人 数 0 00am-02am 15 1 02am-04am 15 2 04am-06am 15 3 06am-08am 35 4 08am-10am 40 5 10am-12pm 40 175 6 12pm-02pm 40 7 02pm-04pm 30 8 04pm-06pm 31 9 06am-08pm 35 10 08am-10pm 30 11 10pm-12am 20 问题 1：假定每个护士每天工作 8 小时，且在连续工作 4 小时后需要 休息 2 小时，请计算为满足需求至少需要多少个护士。 问题 2：此医院目前只有 80 名护士，这个数目不足以满足需求，因 此需要安排部分人加班，每天加班时间为 2 小时，且紧跟随 在后一个 4 小时工作时段之后，中间没有休息，请给出护士 工作时间安排方案，以使需要加班的护士人数最少。 75 题 活动室优化管理 某矿山企业的职工活动中心用电浪费比较严重， 集中体现在晚上， 一种情况是去某个活动室的人比较少，但是活动室内的灯却全部打开， 第二种情况是晚上去活动室总人数比较少，但是开放的活动室比较多， 这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。注：该企业职工上 176 班时间上午 8：00—12：00，下午 1：30—5：30。 下面是某矿山企业收集的部分数据，请完成以下问题. 表1 活动室 座位数 灯管数 活动室相关数据 开关数 一个开关控 灯管的功率/ 制的灯管数 每只 1 64 42 3 14 40w 2 88 42 3 14 40w 3 193 48 4 12 50w 4 193 50 5 10 48w 5 128 36 2 18 45w 6 120 36 2 18 45w 7 120 36 4 9 48w 8 120 36 3 12 45w 9 110 36 3 12 40w 10 120 36 4 9 45w 177 11 64 27 3 9 40w 12 247 75 5 15 45w 13 190 48 3 16 48w 14 210 50 5 10 50w 15 70 42 3 14 40w 16 85 42 3 14 40w 17 192 48 4 12 50w 18 195 50 5 10 48w 19 128 36 2 18 45w 20 120 36 2 18 45w 21 120 36 4 9 48w 22 120 36 3 12 45w 23 110 36 3 12 40w 24 160 36 4 9 45w 178 25 70 27 3 9 40w 26 256 75 5 15 45w 27 190 48 3 16 48w 28 210 50 5 10 50w 29 190 48 3 16 48w 30 205 50 5 10 50w 31 110 36 3 12 40w 32 160 36 4 9 45w 33 70 27 3 9 40w 34 256 75 5 15 45w 35 190 48 3 16 48w 36 210 50 5 10 50w 37 190 48 3 16 48w 38 190 48 3 16 48w 179 39 210 50 5 10 50w 40 200 48 3 16 48w 41 150 50 5 10 50w 42 150 48 3 16 48w 43 180 48 3 16 48w 44 70 25 5 5 50w 45 120 45 3 15 48w 管理人员只需要每天晚上开一部分活动室，每天晚上从 7：00---10： 00 开放（如果哪个活动室被开放，则假设此活动室的所有灯管全部 打开） 。完成以下问题： 1． 假如该企业有职工 16000 名，每个职工晚上是否去活动室相互 独立，去的可能性为 0.6.要使去活动室的职工的满足程度不低于 80%，开放的活动室满座率不低于 4/5，同时尽量不超过 90%。问 该安排哪些活动室开放，能达到节约用电的目的. 2． 假设这 16000 名职工分别住在 10 个宿舍区，现有的 45 个活动 室分为 9 个活动区，按顺序 5 个活动室为 1 个区，即 1,2,3,4,5 为第 1 区，…，41,42,43,44,45 为第 9 区。这 10 个宿舍区到 9 个 活动区的距离见表 2。职工到各活动室活动的满意程度与到该活动 180 室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。 假设职工从宿舍区到一个活动区的距离与到活动区任何活动室的 距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排 活动室，既达到节约用电目的，又能提高职工的满意程度。另外 尽量安排开放同区的活动室。 3． 假设在假期，上活动室的人数突然增多，每个职工上活动室的 可能性增大为 0.85，要使需要上活动室的职工满足程度不低于 99%， 开放的活动室满座率不低于 4/5，同时尽量不超过 95%。这时可能 出现活动室不能满足需要，需要临时搭建几个活动室。假设现有 的 45 个活动室仍按问题 2 中要求分为 9 个区。搭建的活动室紧靠 在某区，每个区只能搭建一个活动室，搭建的活动室与该区某活 动室的规格相同（所有参数相同），学生到该活动室的距离与到该 区任何活动室的距离假设相同。问至少要搭建几个活动室，并搭 建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高职工的满意程度. 表 2 宿舍区(标号为 A)到活动区(标号为 B)的距离(单位: 米) A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 355 305 658 380 419 565 414 488 326 181 A2 695 533 469 506 434 473 390 532 604 A3 512 556 384 452 613 572 484 527 618 A4 324 541 320 466 422 650 306 607 688 A5 696 616 475 499 386 557 428 684 591 A6 465 598 407 476 673 573 385 636 552 A7 354 383 543 552 448 530 481 318 311 A8 425 305 454 573 337 314 545 543 306 A9 307 376 535 323 447 553 587 577 334 A10 482 477 441 361 570 580 591 491 522 76 题 农场规划问题 某公司计划承包有 200 亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进 行奶牛养殖经营。由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产 经营。现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公 司盈利最大。 182 开始承包时农场有 120 头母牛，其中 20 头为不到 2 岁的幼牛，100 头为产奶牛。产奶牛平均每头每年生 1.1 头牛，其中一半为公牛，生 出后不久即卖掉，平均每头卖 300 元；另一半为母牛，可以在出生后 不久卖掉，平均每头卖 400 元，也可以留下饲养，养至 2 岁成为产奶 牛。幼牛年损失 5%；产奶牛年损失 2%。产奶牛养到满 12 岁就卖掉， 平均每头卖 1200 元。现在有 20 头幼牛，0 岁和 1 岁各 10 头；100 头 产奶牛，从 2 岁至 11 岁，每一年龄的都有 10 头。应该卖掉的小母牛 都已卖掉。所有 20 头是要饲养成产奶牛的。 一头牛所产的奶提供年收入 3700 元。现在农场最多只能养 130 头牛。超过此数每多养一头，要投资 2000 元。每头产奶牛每年消耗 0.6 吨粮食和 0.7 吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的 2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每亩产甜菜 1.5 吨。只有 80 英亩的土地适于种粮食，产量平均 0.9 吨。从市场购粮食每吨 900 元， 卖出 750 元。买甜菜每吨 700 元，卖出 500 元。 养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年 10 小时；每头产奶 牛每年 42 小时；种一亩粮食每年需 20 小时；种一亩甜菜每年需 30 小时。 其它费用：每头幼牛每年 500 元，产奶牛每头每年 1000 元；种 粮食每亩每年 150 元，种甜菜每亩每年 100 元。劳动力成本为每小时 费用为 10 元。 承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年 6 万 183 元（每年底付清），另一部分用于支付开始承包时农场已有的 120 头 牛的费用。平均产奶牛每头 4000 元，小牛每头 400 元，到承包结束 时，农场的牛按此价折价抵卖。 任何投资都是从 5 年期的贷款得到。贷款的年利率为 12%，每年 偿还本息总共的 1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目 在五年末与现在相比减少超过 50%，也不希望增加超过 75%。 试分析承包人有无盈利的可能性。若有，应如何安排 5 年的生产， 使得五年的净收益为最大？ 更进一步讨论，若遇到银行利率波动（例如上下波动 2 个百分 点），还贷方式改变（如规定每年还息，改变还本的方式） ，由于气候 等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变 动等将会对你的五年生产计划及收益产生怎样的影响。 77 题 评卷分配问题 通常数学建模竞赛各赛区的评卷工作是这样进行的：先将答卷按 学校编号，评委由各参赛学校（20-50 所）派出，按不同的题目分成 几个题组，每个题组由 M 个来自不同学校的评委组成，评阅 N 份答卷。 为了保证公平，要求： 1．每份答卷经 3 个不同的评委评阅； 2．评委必须回避本校答卷； 184 3．每个评委评阅的答卷尽可能广泛； 4．每个学校的答卷尽可能平均分给每个评委； 5．每个评委评阅答卷的总份数尽可能接近。 （一） 用 0-1 变量 xi j k 表示第 i 所学校的评委是否分给第 j 所 学校的第 k 份答卷，只考虑 A、B 两题，分别为 N1、N2 份答卷，每校 一位评委，请给出合理的分组方法，并按上面的要求建立优化分配模 型。 （二） 附表给出了 2008 年全国大学生数学建模竞赛黑龙江赛 区 A、B 题答卷情况，其中 4 位数的前两位为学校编号。学校 07 的评 委为 A 题题长，学校 08、11 的评委为 B 题题长，采用可行的方法， 依据（一）给出具体的分配方案。 （三）给出评价分配方案优劣的准则和方法，分析所得的结果。 附表：2008 全国大学生数学建模竞赛黑龙江赛区 A、B 题答卷 卷号 题 卷号 题 卷号 题 卷号 题 卷号 题 卷号 题 卷号 题 卷号 题 01 030 072 B 0802 A 1005 B 1305 B 1609 A 250 A A 5 0101 B 030 5 B 072 9 B 0803 B 185 11 1306 B 1610 B 251 B 0102 B 6 6 030 072 0 A 0804 A 1101 A 1307 A 1611 A 251 B B 0103 A 7 7 030 072 1 A 0805 B 1102 A 1308 A 1612 A 251 B B 0104 B 8 8 030 072 2 A 0806 A 1103 A 1309 B 1613 A 27 B 0807 B 1104 A 1310 B 1614 A 270 B 0105 A 9 9 04 073 0 0106 B 040 073 A 1 A 0808 B 1105 A 1311 A 1615 B 270 B A 0107 A 1 2 040 073 2 A 0809 A 1106 A 14 1616 B 270 A A 0108 B 2 3 040 073 3 B 0810 B 1107 A 1401 A 1617 B 270 A A 0109 B 3 4 040 073 4 B 0811 B 1108 A 1402 A 1618 A 270 A 4 5 5 186 A 0110 A 040 073 B 0812 A 1109 A 1403 A 1619 B 270 B B 0111 B 5 6 040 073 6 A 0813 A 1110 A 1404 A 1620 B 270 B B 0112 B 6 7 040 073 7 B 0814 B 1111 A 1405 A 18 A 0815 B 1112 B 1406 A 1801 A 28 B 0113 B 7 8 040 073 280 B 0114 B B 8 9 040 074 1 A 0816 A 1113 B 1407 A 1802 B 280 B 0115 B B 9 0 041 074 2 B 0817 A 1114 B 1408 B 1803 B 29 B 0818 B 1115 B 1409 B 1804 B 290 B 0116 B 0 1 06 074 2 0117 B 060 A 1 0118 A 060 074 1 B 0819 A 1116 B 1410 B 1805 B 3 B 074 A 290 A 2 A 0820 B 1117 B 1411 B 1806 B 187 290 A 2 0119 B 060 4 B 3 0120 B 060 0201 A 060 A 0821 A 1118 B 1412 B B 074 A 0822 A 1119 B 1413 B 6 B 074 5 7 07 074 070 A 2 0203 A 070 070 B 070 6 075 A A 075 B 0823 B 1120 B 1414 B 190 B 2 A 0824 B 12 1415 B 190 A 0825 A 1201 B 15 B 0826 B 1202 A 1501 B 190 075 290 B 290 B 6 B 3 290 B 7 B 290 4 8 23 290 B B 9 A 0827 B 1203 B 1502 A 1 B B 5 0 4 0205 A 074 190 1 9 3 0204 A 290 4 8 0202 B 19 5 4 02 074 3 230 B 30 B 300 1 A 0828 A 1204 B 2 1503 B 230 2 188 1 B 0206 B 070 A 7 0207 A 070 075 B 09 1205 B 1504 B 24 A 0901 1206 B 1505 B 240 31 4 B 075 A 310 A A 8 0208 B 070 5 B 075 1 B 0902 1207 B 1506 B 240 1 A 310 B A 9 0209 B 071 6 B 075 2 A 0903 1208 B 1507 B 240 2 B 310 B A 0 0210 A 071 7 B 075 3 B 0904 1209 B 1508 B 240 3 B 310 A 1 0211 A 071 8 A 075 4 B 0905 1210 B 1509 A 240 4 B A 2 0212 A 071 9 A 076 5 B 0906 1211 A 1510 A 240 B A 3 021 A 071 0 B 076 6 A 0907 1212 A 16 25 1213 A 1601 A 250 B 3 021 4 B 071 1 A 076 A 0908 B 189 B B 4 021 5 A 2 071 B 076 1 B 0909 1214 B 1602 B 250 B B 5 021 6 A 3 071 B 076 2 B 0910 1215 A 1603 B 250 B B 6 8 4 03 072 B 076 0 301 3 B 10 13 1604 A 5 072 A 076 250 A 4 B 1001 A 1301 A 1605 A 250 B A 1 302 6 072 B 076 5 A 1002 B 1302 B 1606 B 250 B A 2 303 7 072 A 08 6 1003 B 1303 A 1607 A 250 B A 3 304 7 072 B 0801 B 1004 B 1304 B 1608 B 250 A 4 8 78 题 人工湖对环境温度的调节问题 190 A 由于水的比热容大，能吸收更多热量，因此人工湖可以降低环境 温度。另外，人工湖周边的绿地除了可以覆盖荒芜地面与水泥地面， 从而增加该地面的比热容，还能进行光和作用，吸收温室气体 CO2， 加上水能释放氧气，使得环境温度增加减缓，达到减缓温室效应的良 好作用。 人工湖面吸收太阳能后获得热量，再通过水面蒸发、水面有效辐 射和水面与大气的对流热交换等失去热量。热量的输送和交换，可以 用湖泊热量平衡方程来表达和计算。由于湖泊热量平衡的某些要素 (如湖泊蒸发率)不易精确测定， 因而通常用水温来表达湖中的热动态。 太阳辐射主要是增高湖水表层的温度，而下层湖水的温度变化主要是 湖水对流和紊动混合造成的。 湖水因温度不同也可造成密度差异，在水层不稳定状态下产生对 流循环，在对流循环达到的深度以上，水温趋于一致。风的扰动可使 人工湖在任何季节产生同温现象；对于深水湖泊来说，风的扰动只能 涉及湖水上层，因而在垂向上会产生上层与下层不同的温度分布。上、 下水层之间温度变化急剧的中间层称为温跃层。湖水温度具有一定的 年变化和日变化，这种变化在湖水表层最为明显，随着深度的增加而 减弱。 湖水的辐射特性决定湖水温度，影响湖水物理化学性质的分布， 而湖水中各种生物的繁殖、生长和发展也都与湖水辐射特性有关。射 191 在湖面的太阳光部分进入水体，部分被反射。进入水体内的太阳光部 分被吸收，部分散射，即使在浅水湖泊中也只有很少一部分透过水层 被湖底吸收。射入湖水中的太阳光极大部分为水的最上层所吸收，只 有 1～30％达到 1 米深处的水层，透入 5 米深处的只有 0～5％，而进 入 10 米深处的不足 1％。湖水吸收太阳光和使太阳光散射的能力与 水中的各种悬浮质的数量和颗粒大小有关，悬浮质越多、颗粒越大， 对光的吸收和散射能力越强，同时散射到水面的分量也越小。光线透 入水中的深度，随湖水的混浊度增加而减少(参见湖水光学现象)，例 如：在浑浊不清的湖水中光线只能深入数米。 请根据以上资料，完成以下问题： 1. 根据适当的假设，对不同面积和深度的人工湖，建立数学模 型，分析导热规律（分为清澈的湖水和有混浊度的湖水）及湖水温度 随着深度的递减的变化规律（湖水的导热系数自行查阅） 。 2. 解释并计算对于不同面积和深度的人工湖，其湖面温度对环 境温度的温室效应产生的影响。 79 题 校车安排问题 许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用 校车送到新校区。由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需 192 要安排许多车辆。如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意 是个十分重要的问题。现有如下问题请你设计解决。 假设老校区的教师和工作人员分布在 50 个区，各区的距离见表 1。 各区人员分布见表 2。 问题 1：如要建立 n 个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最 小，该将校车乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n =2,3 时的结果。 问题 2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大， 该将校车乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n =2,3时 的结果。 问题 3 若建立 3 个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要 安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客 47 人（假定车只在起始站点载人）。 问题 4；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高 乘车人员的满意度，又可节省运行成本。 表1 各区距离表 区域号 区域号 距离(m) 1 2 400 193 1 3 450 2 4 300 2 21 230 2 47 140 3 4 600 4 5 210 4 19 310 5 6 230 5 7 200 6 7 320 6 8 340 7 8 170 7 18 160 8 9 200 194 8 15 285 9 10 180 10 11 150 10 15 160 11 12 140 11 14 130 12 13 200 13 34 400 14 15 190 14 26 190 15 16 170 15 17 250 16 17 140 16 18 130 195 17 27 240 18 19 204 18 25 180 19 20 140 19 24 175 20 21 180 20 24 190 21 22 300 21 23 270 21 47 350 22 44 160 22 45 270 22 48 180 23 24 240 196 23 29 210 23 30 290 23 44 150 24 25 170 24 28 130 26 27 140 26 34 320 27 28 190 28 29 260 29 31 190 30 31 240 30 42 130 30 43 210 31 32 230 197 31 36 260 31 50 210 32 33 190 32 35 140 32 36 240 33 34 210 35 37 160 36 39 180 36 40 190 37 38 135 38 39 130 39 41 310 40 41 140 40 50 190 198 42 50 200 43 44 260 43 45 210 45 46 240 46 48 280 48 49 200 表 2 各区人员分布 区域 人数 区域 人数 1 65 26 16 2 67 27 94 3 42 28 18 4 34 29 29 5 38 30 75 199 6 29 31 10 7 17 32 86 8 64 33 70 9 39 34 56 10 20 35 65 11 61 36 26 12 47 37 80 13 66 38 90 14 21 39 47 15 70 40 40 16 85 41 57 17 12 42 40 18 35 43 69 19 48 44 67 200 20 54 45 20 21 49 46 18 22 12 47 68 23 54 48 72 24 46 49 76 25 76 50 62 以上数据仅供参考，不一定完全符合实际。 80 题 无错配的按优录用分配方案 现有某市直属单位向社会公开招聘 8 名公务员，具体的招聘办法 如下： （一）公开考试：凡是年龄不超过 30 周岁，大学专科以上学历， 身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知 识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为 100 分。根据考试 总分的高低排序按 1:2 的比例（共 16 人）选择进入第二阶段的面试 考核。 （二）面试考核：面试主要考核应聘人员的知识面、对问题的理 解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专 家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成 201 A/B/C/D 四个等级，具体结果见表 1 所示。 （三）由招聘领导小组确定录用名单,并分配到各用人部门。 该单位拟将录用的 8 名公务员安排到所属的 7 个部门。这 7 个部 门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、(2)技术管理、(3)行政执 法、(4)公共事业，他们的类别和对公务员的期望要求见表 2 所示。 每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表 1） 。 招聘领导小组在确定录用分配方案的过程中，本着按优录用的原则， 同时还要考虑用人部门的期望要求和应聘人员的志愿，尽量做到“不 错配”（如果错配，会引起用人部门与公务员双方之间都存在流动的 愿望，就会产生不稳定的情况）。 请建立数学模型，解决下列问题： （1）每个部门至少要安排一名公务员，不考虑“无错配”的要求， 试帮助招聘领导小组设计一种按优录用分配方案。 （2）检查以上方案是否满足“无错配”的要求；说明在此方案下 用人部门对公务员的期望要求的满意程度和应聘人员的满意程度。 （3）每个部门至少要安排一名公务员，请你帮助招聘领导小组设 计一种无错配的按优录用分配方案，使用人部门对公务员的期望要求 的满意程度达到最优；说明在此方案下应聘人员的满意程度。 （4）每个部门至少要安排一名公务员，请你帮助招聘领导小组设 计一种无错配的按优录用分配方案，使应聘人员的满意程度达到最优； 202 说明在此方案下用人部门对公务员的期望要求的满意程度。 （5）如果允许对“每个部门至少要安排一名公务员”、 “恰好录用 8 人”等要求或者参加面试人员申报志愿方式进行修改，请你说明你 的假设，并重新求解问题（3）和问题（4），看看无错配的按优录用 分配方案是否一定存在。 （6）你解决无错配的按优录用分配方案问题的方法对于一般情况， 即 N 个应聘人员 M 个用人单位时，是否可行？请说明你的假设和算法， 给出算法的复杂性分析。 表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿 笔 专家组对应聘者特长的等级评分 应聘 试 申报类别志 人员 成 愿 绩 知识 理解能 应变能 表达能 面 力 力 力 人员 1 290 （2） （3） A A B B 人员 2 288 （3） （1） A B A C 人员 3 288 （1） （2） B A D C 人员 4 285 （4） （3） A B B B 人员 5 283 （3） （2） B A B C 203 人员 6 283 （3） （4） B D A B 人员 7 280 （4） （1） A B C B 人员 8 280 （2） （4） B A A C 人员 9 280 （1） （3） B B A B 280 （3） （1） D B A C 278 （4） （1） D C B A 277 （3） （4） A B C A 275 （2） （1） B C D A 275 （1） （3） D B A B 274 （1） （4） A B C B 人员 10 人员 11 人员 12 人员 13 人员 14 人员 15 204 人员 273 （4） （1） B A B C 16 表 2: 用人部门的类别及对公务员的期望要求 用人 工作 各部门对公务员特长的希望达到的要求 部门 类别 知识面 部门 1 （1） B A C A 部门 2 （2） A B B C C C A A C B B A 部门 3 （2） 部门 4 （3） 部门 5 （3） 部门 6 （4） 部门 7 理解能力 应变能力 表达能力 （4） 205